решить 3.5.1.

3.5.2

Дано: \(O\) — центр окружности, \(A,B,C\) лежат на окружности;
\(\angle ABC=62^\circ\), \(\angle OAB=53^\circ\).
Найти: \(\angle BCO\).

Решение:
\(OA=OB\), поэтому в \(\triangle AOB\):

\[ \angle ABO=\angle OAB=53^\circ \]

Тогда

\[ \angle OBC=62^\circ-53^\circ=9^\circ \]

\(OB=OC\), значит \(\triangle BOC\) равнобедренный:

\[ \angle BCO=\angle OBC=9^\circ \]

Ответ: \(9^\circ\).

3.5.3

Дано: \(\angle AOB=45^\circ\), длина меньшей дуги \(AB\) равна \(91\).
Найти: длину большей дуги \(AB\).

Решение:
Большая дуга соответствует углу

\[ 360^\circ-45^\circ=315^\circ \]

Значит,

\[ l_{\text{больш}}=91\cdot\frac{315}{45}=91\cdot7=637 \]

Ответ: \(637\).

3.5.4

Дано: квадрат описан около окружности; радиус окружности \(r=14\).
Найти: площадь квадрата \(S\).

Решение:
Сторона квадрата равна диаметру окружности:

\[ a=2r=2\cdot14=28 \]

Тогда

\[ S=a^2=28^2=784 \]

Ответ: \(784\).

3.5.5

Дано: окружность с центром \(O\) описана около \(\triangle ABC\);
\(AB=BC\), \(\angle ABC=88^\circ\).
Найти: \(\angle BOC\).

Решение:
Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

\[ \angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-88^\circ}{2}=46^\circ \]

Угол \(BOC\) — центральный, он опирается на ту же дугу \(BC\), что и вписанный угол \(BAC\), поэтому

\[ \angle BOC=2\angle BAC=2\cdot46^\circ=92^\circ \]

Ответ: \(92^\circ\).

3.5.6

Дано: \(\triangle ABC\) вписан в окружность с центром \(O\);
точки \(O\) и \(C\) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(AB\);
\(\angle AOB=115^\circ\).
Найти: \(\angle ACB\).

Решение:
Так как \(O\) и \(C\) лежат по одну сторону от \(AB\), точка \(C\) находится на большей дуге \(AB\). Значит, угол \(ACB\) опирается на меньшую дугу \(AB\), которой соответствует центральный угол \(115^\circ\).

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

\[ \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{115^\circ}{2}=57{,}5^\circ \]

Ответ: \(57{,}5^\circ\).