Реши задачи
Сверь числа и знаки с фото.
41 ABCD — прямоугольник. Найдите угол x. [Рисунок: прямоугольник ABCD; проведены диагонали; в точке их пересечения отмечен угол 58°; при вершине D между диагональю DB и стороной DA отмечен угол x.] Ответ: ___
42 ABCD — прямоугольник. По данным на рисунке найдите угол x. [Рисунок: прямоугольник ABCD; проведены диагонали, пересекающиеся в точке O; при вершине B между стороной AB и диагональю BD отмечен угол 62°; при вершине A между диагональю AC и стороной AD отмечен угол x.] Ответ: ___
43 ABCD — ромб, \(AB=BD\). Найдите \(x+y\). [Рисунок: ромб ABCD; проведены диагонали AC и BD; при вершине A между стороной AB и диагональю AC отмечен угол x; при вершине D между диагональю DB и стороной DC отмечен угол y.] Ответ: ___
44 ABCD — ромб. По данным на рисунке найдите \(x+y\). [Рисунок: ромб ABCD; проведены диагонали AC и BD; при вершине B между стороной BA и диагональю BD отмечен угол x; при вершине C между стороной BC и диагональю CA отмечен угол y.] Ответ: ___
45 ABCD — квадрат, \(DO=CO=CD\). Найдите угол x. [Рисунок: квадрат ABCD; точка O внутри; проведены отрезки OC, OD, OB; при вершине B между стороной BA и отрезком BO отмечен угол x.] Ответ: ___
46 ABCD — квадрат, \(AO=OD=AD\). Найдите \(\angle BOC\). [Рисунок: квадрат ABCD; точка O внутри; проведены отрезки OA, OD, OB, OC; угол BOC отмечен x.] Ответ: ___
47 ABCD — параллелограмм, AK и BK — биссектрисы углов A и B. Найдите угол x. [Рисунок: параллелограмм ABCD; биссектрисы AK и BK пересекаются в точке K; при точке K отмечен угол x между KA и KB.] Ответ: ___
48 ABCD — параллелограмм, CF и DF — биссектрисы углов C и D, \(AB=12\), \(CE=ED\). Найдите FE. [Рисунок: параллелограмм ABCD; биссектрисы CF и DF пересекаются в точке F; точка E лежит на стороне CD, \(CE=ED\); проведён отрезок FE; на стороне AB указано 12.] Ответ: ___
49 ABCD — параллелограмм, \(AB=6\) см, \(BC=8\) см, \(\angle1=\angle2\). Найдите DK. [Рисунок: параллелограмм ABCD; на стороне AB указано 6, на стороне BC — 8; из вершины B проведена биссектриса угла B, пересекающая AD в точке M и продолжение CD в точке K; угол 1 отмечен между BA и BM, угол 2 — между BM и BC; отрезок DK отмечен x.] Ответ: ___
50 ABCD — параллелограмм, \(BC=6\) см, \(AC=10\) см, \(\angle1=\angle2\). Найдите MD. [Рисунок: параллелограмм ABCD; на стороне BC указано 6, на диагонали AC — 10; точка M лежит на продолжении стороны AD за точку A; проведена прямая CM; угол 1 отмечен между BC и CM, угол 2 — между CM и CA; отрезок MD отмечен x.] Ответ: ___
Краткие ответы
| Задача | Ответ |
|---|---|
| 41 | \(29^\circ\) |
| 42 | \(28^\circ\) |
| 43 | \(90^\circ\) |
| 44 | \(90^\circ\) |
| 45 | \(15^\circ\) |
| 46 | \(150^\circ\) |
| 47 | \(90^\circ\) |
| 48 | \(6\) см |
| 49 | \(2\) см |
| 50 | \(16\) см |
Ключевые шаги
41. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому треугольник, содержащий угол \(x\), равнобедренный. Угол при вершине \(O\), смежный с \(58^\circ\), равен \(122^\circ\). Тогда
\[
x=\frac{180^\circ-122^\circ}{2}=29^\circ.
\]
42. В прямоугольнике диагонали равны, значит треугольник при вершине \(A\) равнобедренный. Угол между стороной и диагональю при \(B\) равен \(62^\circ\), поэтому соответствующий угол при \(A\) тоже \(62^\circ\). Весь угол прямоугольника \(90^\circ\), следовательно
\[
x=90^\circ-62^\circ=28^\circ.
\]
43. \(AB=AD\) как стороны ромба, а по условию \(AB=BD\). Значит, \(\triangle ABD\) равносторонний, поэтому угол \(A\) ромба равен \(60^\circ\), а угол \(D\) — \(120^\circ\). Диагонали ромба делят углы пополам:
\[
x=30^\circ,\qquad y=60^\circ,\qquad x+y=90^\circ.
\]
44. Диагонали ромба делят его углы пополам. Если \(\angle B=2x\), \(\angle C=2y\), то
\[
2x+2y=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x+y=90^\circ.
\]
45. Треугольник \(COD\) равносторонний, поэтому \(\angle OCD=60^\circ\). Тогда
\[
\angle BCO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.
\]
В треугольнике \(BCO\) стороны \(BC=CO\), значит его углы при \(B\) и \(O\) равны:
\[
\angle CBO=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ.
\]
Отмеченный на рисунке угол между \(AB\) и \(BO\):
\[
x=90^\circ-75^\circ=15^\circ.
\]
46. Треугольник \(AOD\) равносторонний, \(\angle AOD=60^\circ\). Далее \(AB=AO\), причём
\[
\angle BAO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.
\]
Значит, в равнобедренном \(\triangle ABO\)
\[
\angle AOB=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ.
\]
Аналогично \(\angle DOC=75^\circ\). Сумма углов вокруг точки \(O\):
\[
75^\circ+60^\circ+75^\circ+\angle BOC=360^\circ,
\]
откуда
\[
\angle BOC=150^\circ.
\]
47. Пусть \(\angle A=\alpha\), тогда \(\angle B=180^\circ-\alpha\). Биссектрисы дают: \[ \angle BAK=\frac{\alpha}{2},\qquad \angle ABK=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}. \] В треугольнике \(ABK\): \[ x=180^\circ-\left(\frac{\alpha}{2}+90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=90^\circ. \]
48. Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, поэтому \(\angle CFD=90^\circ\). Значит, \(E\) — середина гипотенузы \(CD\) прямоугольного треугольника \(CFD\), и медиана к гипотенузе равна её половине: \[ FE=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \]
49. Пусть биссектриса \(BK\) пересекает \(AD\) в точке \(M\). Так как \(AD\parallel BC\), то
\[
\angle BMA=\angle2=\angle1,
\]
поэтому \(\triangle ABM\) равнобедренный:
\[
AM=AB=6\text{ см}.
\]
Тогда
\[
MD=AD-AM=BC-AB=8-6=2\text{ см}.
\]
Треугольники \(KMD\) и \(KBC\) подобны. Обозначим \(DK=t\), \(DC=AB=6\):
\[
\frac{t}{t+6}=\frac{MD}{BC}=\frac{2}{8}.
\]
Отсюда \(4t=t+6\), \(t=2\) см.
50. По рисунку \(\angle1=\angle BCM\), \(\angle2=\angle MCA\). Так как \(AM\parallel BC\), то
\[
\angle BCM=\angle CMA.
\]
Значит,
\[
\angle CMA=\angle MCA,
\]
и треугольник \(ACM\) равнобедренный:
\[
AM=AC=10\text{ см}.
\]
Поскольку \(AD=BC=6\) см и точка \(A\) лежит между \(M\) и \(D\):
\[
MD=MA+AD=10+6=16\text{ см}.
\]
Обсуждение
2 сообщенияРеши задачи
Ответы:
41) \(29^\circ\)
42) \(28^\circ\)
43) \(90^\circ\)
44) \(90^\circ\)
45) \(15^\circ\)
46) \(150^\circ\)
47) \(90^\circ\)
48) \(6\)
49) \(2\) см
50) \(16\) см
Краткие пояснения:
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Острый угол между диагоналями \(58^\circ\), значит угол между диагональю и стороной:
\[ x=\frac{58^\circ}{2}=29^\circ. \]Перпендикуляр к диагонали даёт прямоугольный треугольник:
\[ x=90^\circ-62^\circ=28^\circ. \]В ромбе \(AB=AD\), а по условию \(AB=BD\), значит \(\triangle ABD\) равносторонний. Тогда \(\angle BAD=60^\circ\), а \(AC\) делит его пополам:
\[ x=30^\circ,\qquad y=60^\circ,\qquad x+y=90^\circ. \]Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями и стороной \(BC\),
\[ x+y=90^\circ. \]\(\triangle COD\) равносторонний, поэтому \(\angle OCD=60^\circ\). Тогда
\[ \angle BCO=90^\circ-60^\circ=30^\circ. \] В равнобедренном \(\triangle BCO\):
\[ \angle CBO=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ. \] Отмеченный малый угол при вершине \(B\):
\[ x=90^\circ-75^\circ=15^\circ. \]\(\triangle AOD\) равносторонний, \(\angle AOD=60^\circ\). Далее
\[ \angle AOB=\angle DOC=75^\circ. \] Поэтому
\[ \angle BOC=360^\circ-60^\circ-75^\circ-75^\circ=150^\circ. \]Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны:
\[ x=90^\circ. \]\(\angle CFD=90^\circ\), так как биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны. \(E\) — середина гипотенузы \(CD\) прямоугольного треугольника \(CDF\), значит медиана
\[ FE=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=6. \]\(BK\) — биссектриса, \(CK\parallel AB\). Тогда \(\triangle BCK\) равнобедренный:
\[ CK=BC=8\text{ см}. \] Но \(CD=AB=6\) см, поэтому
\[ DK=CK-CD=8-6=2\text{ см}. \]\(AM\parallel BC\), а \(CM\) делит угол \(BCA\) пополам. Поэтому
\[ \angle CMA=\angle MCA, \] значит \(\triangle ACM\) равнобедренный:
\[ AM=AC=10\text{ см}. \] Тогда
\[ MD=AM+AD=10+6=16\text{ см}. \]
