В физической лаборатории проводят исследование по влиянию величины давления воздуха в цилиндрическом резервуаре с поршнем на подъём в нём полого металлического шарика.

Ответ: \(p_{\min}\approx 7{,}6\) МПа (абсолютное давление).

Шарик оторвётся от дна, когда выталкивающая сила воздуха станет равна силе тяжести шарика:

\[ F_A=mg,\qquad F_A=\rho_{\text{возд}}gV. \]

Значит, нужна плотность воздуха

\[ \rho_{\text{возд}}=\frac{m}{V}. \]

Объём шарика считаем по его наружному радиусу:

\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3,\qquad r=2\ \text{см}=0{,}02\ \text{м}. \]

\[ V=\frac{4}{3}\pi(0{,}02)^3\approx 3{,}35\cdot 10^{-5}\ \text{м}^3. \]

Масса шарика:

\[ m=3\ \text{г}=3\cdot 10^{-3}\ \text{кг}. \]

Тогда

\[ \rho_{\text{возд}} =\frac{3\cdot 10^{-3}}{3{,}35\cdot 10^{-5}} \approx 89{,}5\ \text{кг/м}^3. \]

Для идеального газа плотность связана с давлением так:

\[ \rho=\frac{pM}{RT} \quad\Rightarrow\quad p=\frac{\rho RT}{M}. \]

Здесь \(T=23+273{,}15=296{,}15\) К, \(M=29\ \text{г/моль}=0{,}029\ \text{кг/моль}\), \(R=8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)}\).

\[ p\approx \frac{89{,}5\cdot 8{,}31\cdot 296{,}15}{0{,}029} \approx 7{,}60\cdot 10^6\ \text{Па} =7{,}6\ \text{МПа}. \]

Проверка: при такой плотности

\[ F_A\approx 89{,}5\cdot 9{,}81\cdot 3{,}35\cdot 10^{-5} \approx 0{,}0294\ \text{Н}, \]

а

\[ mg\approx 0{,}003\cdot 9{,}81\approx 0{,}0294\ \text{Н}. \]

Силы равны, поэтому шарик начинает отрываться от дна. Округление до десятых: 7,6 МПа.