Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(17\); б) \(2{,}4\); в) \(320\); г) \(19\).
- а) \(m^2\); б) \(m^6\); в) \(m^{13}\).
- а) \(x=\pm\sqrt{13}\); б) действительных корней нет; в) \(x=2401\); г) корней нет.
- а) \(6\sqrt5\); б) \(6\); в) \(7-2\sqrt6\); г) \(73\).
- а) \(2\sqrt{15}<5\sqrt3\); б) числа равны.
- \(125\).
- \((x-13)(x+1)\).
Ключевые шаги
1. Значения выражений
а)
\[
0{,}4\sqrt{2500}-\frac13\sqrt{81}
=0{,}4\cdot 50-\frac13\cdot 9
=20-3=17.
\]
б)
\[
\sqrt{0{,}16\cdot 36}
=\sqrt{0{,}16}\cdot\sqrt{36}
=0{,}4\cdot6=2{,}4.
\]
в)
\[
\sqrt{8^4\cdot5^2}
=\sqrt{(8^2)^2\cdot5^2}
=8^2\cdot5=64\cdot5=320.
\]
г)
\[
\sqrt8\cdot\sqrt{18}+\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}
=\sqrt{8\cdot18}+\sqrt{\frac{98}{2}}
=\sqrt{144}+\sqrt{49}
=12+7=19.
\]
2. Степени с основанием \(m\)
Используем правила: \[ m^a\cdot m^b=m^{a+b},\qquad m^a:m^b=m^{a-b},\qquad (m^a)^b=m^{ab}. \]
а)
\[
m^{-4}\cdot m^6=m^{-4+6}=m^2.
\]
б)
\[
m^{-3}:m^{-9}=m^{-3-(-9)}=m^6.
\]
в)
\[
(m^{-9})^{-4}\cdot m^{-23}
=m^{36}\cdot m^{-23}
=m^{36-23}=m^{13}.
\]
3. Уравнения
а)
\[
x^2=13 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{13}.
\]
б)
\[
x^2=-100
\]
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет.
в)
\[
\sqrt{x}=49 \quad\Rightarrow\quad x=49^2=2401.
\]
г)
\[
\sqrt{x}=-36
\]
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому корней нет.
4. Упрощение выражений
а)
\[
3\sqrt{20}=3\cdot2\sqrt5=6\sqrt5,
\qquad
2\sqrt{45}=2\cdot3\sqrt5=6\sqrt5.
\]
Тогда
\[
6\sqrt5+6\sqrt5-6\sqrt5=6\sqrt5.
\]
б)
\[
\sqrt{24}=2\sqrt6,
\]
поэтому
\[
(\sqrt{24}-\sqrt6)\sqrt6
=(2\sqrt6-\sqrt6)\sqrt6
=\sqrt6\cdot\sqrt6=6.
\]
в)
\[
(\sqrt6-1)^2
=6-2\sqrt6+1
=7-2\sqrt6.
\]
г) По формуле разности квадратов: \[ (4\sqrt5+\sqrt7)(4\sqrt5-\sqrt7) =(4\sqrt5)^2-(\sqrt7)^2 =80-7=73. \]
5. Сравнение чисел
а) Оба числа положительны, сравним их квадраты: \[ (2\sqrt{15})^2=4\cdot15=60, \] \[ (5\sqrt3)^2=25\cdot3=75. \] Так как \(60<75\), то \[ 2\sqrt{15}<5\sqrt3. \]
б)
\[
6\sqrt{\frac13}=6\cdot\frac1{\sqrt3}=2\sqrt3.
\]
С другой стороны,
\[
\frac14\sqrt{192}
=\frac14\cdot8\sqrt3
=2\sqrt3.
\]
Значит, числа равны.
6. Вычисление степени
\[ \frac{5^{-8}\cdot25^{-2}}{125^{-5}} = \frac{5^{-8}\cdot(5^2)^{-2}}{(5^3)^{-5}} = \frac{5^{-8}\cdot5^{-4}}{5^{-15}} = \frac{5^{-12}}{5^{-15}} =5^{-12+15}=5^3=125. \]
7. Разложение квадратного трёхчлена
Решим уравнение \[ x^2-12x-13=0. \] По теореме Виета: \[ x_1+x_2=12,\qquad x_1x_2=-13. \] Подходят числа \(13\) и \(-1\). Поэтому \[ x^2-12x-13=(x-13)(x+1). \]
Проверка: \[ (x-13)(x+1)=x^2+x-13x-13=x^2-12x-13. \]
