Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).
Как это получается
Смотрим на уравнение \(x^{2}-5x+6=0\). Здесь \(a=1,\; b=-5,\; c=6\).
Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\) (то есть \(-b\)), а в произведении — \(6\) (то есть \(c\)). Это \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).
Значит, левую часть можно разложить на множители: \[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \] откуда \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \] Оба корня подходят.
Принцип на будущее. Для уравнения \(x^{2}+px+q=0\) ищи два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — это корни (теорема Виета). Если такие числа не подбираются, выручит дискриминант: \(D=p^{2}-4q\), а корни равны \(\frac{-p\pm\sqrt{D}}{2}\). Здесь \(D=25-24=1\), и получаем те же \(2\) и \(3\).
