Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как это увидеть без подбора «наугад»

Для приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) по теореме Виета:

\[ x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1x_2=q=6. \]

Нужны два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\):

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]

Поэтому корни:

\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]

То же самое можно записать через разложение на множители:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]

откуда снова \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка: я проверил подстановкой:

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба значения подходят.

Принцип для похожих уравнений: ищи два числа с нужной суммой и произведением; если они не подбираются легко, используй дискриминант:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]