Реши уравнение x² − x + 3 >0

Краткий ответ: \(x\in\mathbb R\), то есть неравенство верно при любом \(x\).

Как понять:

\[ x^{2}-x+3=\left(x-\frac12\right)^2+3-\frac14 =\left(x-\frac12\right)^2+\frac{11}{4}. \]

Квадрат \(\left(x-\frac12\right)^2\) всегда неотрицателен, поэтому вся сумма не меньше \(\frac{11}{4}\). Значит, она всегда больше нуля.

Проверка через дискриминант:

\[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot3=1-12=-11<0. \]

Корней нет, а ветви параболы направлены вверх — она целиком лежит выше оси \(x\). Поэтому:

\[ x^{2}-x+3>0 \quad \text{при всех } x. \]