Точки E F M и K середины соответственно рёбер AB AD CD и BC тетраэдра dabc AC = 12 BD = 16 fK = 2√13 найдите угол между прямыми AC и BD
Краткий ответ: \(60^\circ\).
Пусть \(\vec{AC}=\mathbf a\), \(\vec{BD}=\mathbf b\). Найдём вектор \(\overrightarrow{FK}\).
Так как \(F\) — середина \(AD\), а \(K\) — середина \(BC\), то для любых радиус-векторов точек: \[ \overrightarrow{FK} =\frac{(\vec B+\vec C)-(\vec A+\vec D)}{2} =\frac{(\vec C-\vec A)-(\vec D-\vec B)}{2} =\frac{\vec{AC}-\vec{BD}}{2}. \]
Значит, \[ FK^2=\frac14\left(AC^2+BD^2-2\cdot AC\cdot BD\cos\varphi\right), \] где \(\varphi\) — угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\).
Подставляем: \[ (2\sqrt{13})^2 =\frac14\left(12^2+16^2-2\cdot12\cdot16\cos\varphi\right). \] \[ 52=\frac14(144+256-384\cos\varphi). \] \[ 208=400-384\cos\varphi, \] \[ 384\cos\varphi=192, \] \[ \cos\varphi=\frac12. \]
Следовательно, \[ \varphi=60^\circ. \]
Ответ: \(60^\circ\).
Обсуждение
6 сообщенийТеорема косинус
Да, через теорему косинусов получается тот же ответ.
Так как \(F\) — середина \(AD\), а \(K\) — середина \(BC\), то \[ \overrightarrow{FK} =\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}}{2}. \] Значит, вектор \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\) имеет длину \[ 2FK=2\cdot 2\sqrt{13}=4\sqrt{13}. \]
Рассмотрим треугольник, две стороны которого равны \(AC=12\) и \(BD=16\), а третья — \(4\sqrt{13}\). Угол между \(AC\) и \(BD\) обозначим \(\varphi\). По теореме косинусов: \[ (4\sqrt{13})^2 =12^2+16^2-2\cdot 12\cdot 16\cos\varphi. \] \[ 208=144+256-384\cos\varphi, \] \[ 208=400-384\cos\varphi, \] \[ 384\cos\varphi=192, \] \[ \cos\varphi=\frac12. \] Отсюда \[ \varphi=60^\circ. \]
Ответ: \(60^\circ\).
Без вектора
Без векторов — через средние линии.
В треугольнике \(ABC\) точки \(E\) и \(K\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\). Значит, \(EK\) — средняя линия: \[ EK\parallel AC,\qquad EK=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6. \]
В треугольнике \(ABD\) точки \(E\) и \(F\) — середины сторон \(AB\) и \(AD}\). Значит, \(EF\) — средняя линия: \[ EF\parallel BD,\qquad EF=\frac{BD}{2}=\frac{16}{2}=8. \]
Поэтому угол между прямыми \(AC\) и \(BD\) равен углу между \(EK\) и \(EF\), то есть углу \(\angle KEF\) в треугольнике \(EFK\).
В треугольнике \(EFK\): \[ EF=8,\qquad EK=6,\qquad FK=2\sqrt{13}. \] По теореме косинусов: \[ FK^2=EF^2+EK^2-2\cdot EF\cdot EK\cdot \cos\angle KEF. \] Подставляем: \[ (2\sqrt{13})^2=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cdot\cos\angle KEF. \] \[ 52=64+36-96\cos\angle KEF, \] \[ 52=100-96\cos\angle KEF, \] \[ 96\cos\angle KEF=48, \] \[ \cos\angle KEF=\frac12. \] Значит, \[ \angle KEF=60^\circ. \]
Ответ: \(60^\circ\).
Вообще как звучит теорема косинусов?
Теорема косинусов звучит так:
В треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Если в треугольнике стороны \(a\), \(b\), \(c\), а угол между сторонами \(a\) и \(b\) равен \(\gamma\), то сторона \(c\) лежит против этого угла, и \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. \]
Отсюда можно найти сам угол: \[ \cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}. \]
Например, в предыдущей задаче в треугольнике \(EFK\): \[ EF=8,\qquad EK=6,\qquad FK=2\sqrt{13}, \] и угол между \(EF\) и \(EK\) равен \(\angle KEF\). Поэтому \[ FK^2=EF^2+EK^2-2\cdot EF\cdot EK\cdot\cos\angle KEF. \]
Если угол прямой, то \(\cos 90^\circ=0\), и теорема косинусов превращается в теорему Пифагора: \[ c^2=a^2+b^2. \]
