1 вариант, 1. Хорды окружности AB и CP пересекаются в точке E. Найти длину отрезка PE, если CE = 8 см, AE = 3 см, BE = 6 см.

Коротко

• 1 вариант, №1: \(PE = 2{,}25\) см
• 2 вариант, №1: \(MO = 12\) см

Главная идея

На листе записано свойство пересекающихся хорд: если две хорды пересекаются в точке \(M\) внутри окружности, то

\[ AM\cdot MB = CM\cdot MD \]

То есть произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Почему так: треугольники \(AMC\) и \(DMB\) подобны — угол при \(M\) вертикальный, а \(\angle MAC = \angle MDB\) как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Из подобия \(\frac{AM}{DM}=\frac{CM}{BM}\), откуда и получается равенство произведений.

Как не ошибиться: перемножаем отрезки одной и той же хорды (два множителя слева) и приравниваем к произведению отрезков другой хорды.

1 вариант, №1

Хорды \(AB\) и \(CP\) пересекаются в \(E\), значит отрезки первой хорды — \(AE\) и \(BE\), второй — \(CE\) и \(PE\):

\[ AE\cdot BE = CE\cdot PE \]

\[ 3\cdot 6 = 8\cdot PE \;\Rightarrow\; 18 = 8PE \;\Rightarrow\; PE=\frac{18}{8}=2{,}25\ \text{см} \]

2 вариант, №1

Хорды \(AK\) и \(ME\) пересекаются в \(O\): отрезки \(AK\) — это \(AO\) и \(OK\), отрезки \(ME\) — это \(MO\) и \(OE\):

\[ AO\cdot OK = MO\cdot OE \]

\[ 4\cdot 15 = MO\cdot 5 \;\Rightarrow\; 60 = 5MO \;\Rightarrow\; MO=12\ \text{см} \]

Проверка

• \(3\cdot 6 = 18\) и \(8\cdot 2{,}25 = 18\) — сходится.
• \(4\cdot 15 = 60\) и \(12\cdot 5 = 60\) — сходится.

Про №4: в кадр попали только задания №1–3, а четвёртые задачи обрезаны снизу, поэтому решить их по этому фото я не могу — пришлите, пожалуйста, фото заданий №4 (можно по одному варианту).