сделай упражнение 205 А и Б

Кратко: обе функции — квадратичные, их графики — параболы с ветвями вверх.

• 205 а: вершина \((-1;-16)\), нули \(x=-5\) и \(x=3\).
• 205 б: вершина \((3;-0{,}5)\), нули \(x=2\) и \(x=4\).

205 а) \(y=x^2+2x-15\)

Найдём вершину: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1, \] \[ y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-15=1-2-15=-16. \]

Вершина: \((-1;-16)\), ось симметрии: \(x=-1\).

Нули функции: \[ x^2+2x-15=0 \] \[ (x+5)(x-3)=0, \] поэтому \(x=-5\), \(x=3\).

Точки для построения:

Свойства функции:

• Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\).
• Область значений: \(E(y)=[-16;+\infty)\).
• \(y=0\) при \(x=-5\) и \(x=3\).
• \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-5)\cup(3;+\infty)\).
• \(y<0\) при \(x\in(-5;3)\).
• Функция убывает на \((-\infty;-1]\) и возрастает на \([-1;+\infty)\).
• Наименьшее значение: \(y_{\min}=-16\) при \(x=-1\).
• Наибольшего значения нет.
• Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-15)\).

205 б) \(y=0{,}5x^2-3x+4\)

Вершина: \[ x_0=-\frac{-3}{2\cdot0{,}5}=3, \] \[ y_0=0{,}5\cdot3^2-3\cdot3+4=4{,}5-9+4=-0{,}5. \]

Вершина: \((3;-0{,}5)\), ось симметрии: \(x=3\).

Нули функции: \[ 0{,}5x^2-3x+4=0 \] Умножим на \(2\): \[ x^2-6x+8=0, \] \[ (x-2)(x-4)=0, \] поэтому \(x=2\), \(x=4\).

Точки для построения:

Свойства функции:

• Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\).
• Область значений: \(E(y)=[-0{,}5;+\infty)\).
• \(y=0\) при \(x=2\) и \(x=4\).
• \(y>0\) при \(x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty)\).
• \(y<0\) при \(x\in(2;4)\).
• Функция убывает на \((-\infty;3]\) и возрастает на \([3;+\infty)\).
• Наименьшее значение: \(y_{\min}=-0{,}5\) при \(x=3\).
• Наибольшего значения нет.
• Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;4)\).

Как строить похожий график

1. Определи знак коэффициента \(a\): если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\), вниз.
2. Найди вершину по формулам: \[ x_0=-\frac{b}{2a}, \qquad y_0=y(x_0). \]
3. Найди нули, решив уравнение \(y=0\).
4. Отметь точку пересечения с осью \(Oy\): она имеет координаты \((0;c)\).
5. Возьми ещё несколько симметричных относительно вершины точек и соедини их плавной параболой.

Проверка: вершины действительно лежат посередине между корнями — \((-5+3):2=-1\), \((2+4):2=3\). Ветви направлены вверх, значит в этих точках достигается минимум.