1. Хорды окружности AB и CP пересекаются в точке E. Найти длину отрезка PE, если CE=8 см, AE=3 см, BE=6 см.

На фото полностью видно задание 1; задание 2 обрезано, поэтому решаю №1.

Ответ: \(PE=2{,}25\) см, или \(\frac94\) см.

Ключевой шаг. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения их отрезков равны: \[ AE\cdot BE=CE\cdot PE. \] Подставляю данные: \[ 3\cdot 6=8\cdot PE, \] \[ PE=\frac{18}{8}=\frac94=2{,}25\text{ см}. \]

Почему правило работает. Треугольники \(AEC\) и \(PEB\) подобны: угол при \(E\) вертикальный, а \(\angle ACE=\angle EBP\) как вписанные углы, опирающиеся на дугу \(AP\). Из подобия: \[ \frac{AE}{PE}=\frac{CE}{BE}, \] откуда \(AE\cdot BE=CE\cdot PE\).

Проверка: \(3\cdot6=18\) и \(8\cdot2{,}25=18\). Всё сходится.