№3 а) (a⁻³)²·a⁸ / a⁻²

Краткий ответ: \(a^{4}\) (при \(a\neq 0\)).

В кадре есть готовая цепочка: \(\frac{(a^{-3})^2\cdot a^8}{a^{-2}}\). Её и дорешаю — верхняя строчка с \(x\) обрезана, её не трогаю.

Какие правила работают

1. Степень степени: \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\) — показатели перемножаются.
2. Умножение: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) — показатели складываются.
3. Деление: \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\) — показатели вычитаются.

Шаги

\[ \frac{(a^{-3})^2\cdot a^8}{a^{-2}}=\frac{a^{-6}\cdot a^8}{a^{-2}}=\frac{a^{2}}{a^{-2}}=a^{2-(-2)}=a^{4} \]

• \((a^{-3})^2=a^{-3\cdot 2}=a^{-6}\)
• \(a^{-6}\cdot a^{8}=a^{-6+8}=a^{2}\)
• \(\frac{a^{2}}{a^{-2}}=a^{2-(-2)}=a^{2+2}=a^{4}\) — вычитание отрицательного показателя даёт плюс.

Коротко всё одной строкой: \(a^{-6+8-(-2)}=a^{4}\).

Проверка подстановкой \(a=2\)

Числитель: \((2^{-3})^2\cdot 2^{8}=2^{-6}\cdot 2^{8}=2^{2}=4\). Знаменатель: \(2^{-2}=\frac{1}{4}\). Итог: \(4:\frac{1}{4}=16=2^{4}\). Сходится.

Ограничение \(a\neq 0\) нужно потому, что \(a\) стоит в знаменателе (\(a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}\)).