211 Изобразите объединение числовых промежутков на числовой прямой.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
211 Изобразите объединение числовых промежутков на числовой прямой. а) \(3 < x \le 5\) и \(4 < x \le 8\); б) \(x > 2\) и \(x < -1\); в) \(x \ge 6\) и \(x \le 9\); г) \(5 \le x < 7\) и \(x > 4\). 212 Запишите с помощью знака объединения множество, изображённое на рисунке 57. [Рисунок 57: а) числовая прямая с подписями −3, 1, 3, 6, x и двумя закрашенными промежутками — от −3 до 1 и от 3 до 6; б) числовая прямая с подписями −4, 0, 2, x и двумя закрашенными промежутками — от −4 до 0 и от 2 вправо; в) числовая прямая с подписями −2, 0, 4, 5, x и двумя закрашенными промежутками — от −2 до 0 и от 4 до 5.] 213 Найдите пересечение и объединение числовых промежутков: а) \([4; 7]\) и \((0; 6)\); б) \((-5; 2)\) и \((3; 7)\); в) \([-4; 1]\) и \((-2; 5)\); г) \((-\infty; 7]\) и \([5; +\infty)\). 214 Найдите пересечение и объединение числовых лучей: а) \(x < 6\) и \(x \ge 4\); б) \(x \ge 5\) и \(x \le 1\). 215 Известно, что \(x \in [1; 4]\) и \(x \in (2; 5)\). Истинны ли утверждения: а) \(x \in (2; 4]\); б) \(3 \le x \le 4\); в) \(x \in (-5; 8)\); г) \(x > 2\)? 216 Решая систему двух неравенств относительно переменной \(x\), школьник получил отдельно решения обоих неравенств: \(x \ge 3\) и \(x \le 7\). Укажите промежуток, который является решением системы, и изобразите его на числовой прямой. 217 При решении системы двух неравенств получились решения обоих неравенств: \(x \le -4\) и \(x > 8\). Какое множество является решением системы? 218 Решая систему неравенств, школьник нашёл, что переменная \(a\) должна удовлетворять одновременно двум утверждениям: \(a > 5\) и \(a \ge 3\). Запишите множество всех значений \(a\), которые являются решением задачи. 219 В задаче требовалось найти значения переменной \(y\). Решая задачу, школьник нашёл, что переменная \(y\) должна удовлетворять хотя бы одному из двух неравенств: \(3 < y \le 4\) и \(-2 \le y \le 0\). Запишите множество всех значений переменной \(y\), которые не являются решением задачи.
На фото несколько заданий (211–219). Уточни, какой номер решить, — например, 213; разберу его по шагам.
Обсуждение
6 сообщений213
Ответ для № 213:
| Пересечение | Объединение | |
|---|---|---|
| а) | \([4;6)\) | \((0;7]\) |
| б) | \(\varnothing\) | \((-5;2)\cup(3;7)\) |
| в) | \((-2;1]\) | \([-4;5)\) |
| г) | \([5;7]\) | \((-\infty;+\infty)\) |
Как рассуждать:
- Пересечение — общие точки обоих промежутков: берём большую левую границу и меньшую правую.
- Объединение — все точки, которые входят хотя бы в один промежуток. Если промежутки пересекаются, они сливаются в один.
Например, в а): \[ [4;7]\cap(0;6)=[4;6) \] Потому что общая часть идёт от \(4\) до \(6\), причём \(6\) не включается: \[ [4;7]\cup(0;6)=(0;7] \] Ведь вместе промежутки покрывают всё от \(0\) до \(7\).
В б) промежутки не пересекаются, поэтому пересечение пустое, а объединение записывается двумя отдельными частями.
Сделай и решение
№ 213 — полное решение
Правила, на которые опираемся.
- Пересечение \(A\cap B\) — множество точек, принадлежащих обоим промежуткам. Левая граница — бо́льшая из левых, правая — меньшая из правых; скобка на каждой границе берётся «жёсткая»: если хотя бы один промежуток не включает точку, то и в пересечении она не включается.
- Объединение \(A\cup B\) — множество точек, принадлежащих хотя бы одному промежутку. Левая граница — меньшая из левых, правая — большая из правых; скобка «мягкая», если точка входит хотя бы в один промежуток. Если промежутки накладываются или соприкасаются, объединение — один промежуток.
а) \(A=[4;7]\), \(B=(0;6)\)
Пересечение. Левая граница: \(\max(4;0)=4\), точка \(4\in A\), значит скобка квадратная. Правая граница: \(\min(7;6)=6\), но \(6\notin B\), поэтому скобка круглая. \[ [4;7]\cap(0;6)=[4;6) \]
Объединение. Левая граница: \(\min(4;0)=0\), \(0\notin B\) — скобка круглая. Правая: \(\max(7;6)=7\), \(7\in A\) — скобка квадратная. Промежутки перекрываются (на \([4;6)\)), значит это один промежуток: \[ [4;7]\cup(0;6)=(0;7] \]
б) \(A=(-5;2)\), \(B=(3;7)\)
Пересечение. Между промежутками есть «дыра» — точки от \(2\) до \(3\) не входят ни в \(A\), ни в \(B\). Общих точек нет: \[ (-5;2)\cap(3;7)=\varnothing \]
Объединение. Промежутки не перекрываются и не соприкасаются, поэтому записываем двумя частями через знак объединения: \[ (-5;2)\cup(3;7) \]
в) \(A=[-4;1]\), \(B=(-2;5)\)
Пересечение. Левая граница: \(\max(-4;-2)=-2\), но \(-2\notin B\) — скобка круглая. Правая: \(\min(1;5)=1\), \(1\in A\) — скобка квадратная. \[ [-4;1]\cap(-2;5)=(-2;1] \]
Объединение. Левая граница: \(\min(-4;-2)=-4\), \((-4)\in A\) — квадратная скобка. Правая: \(\max(1;5)=5\), \(5\notin B\) — круглая. Промежутки накладываются, значит один промежуток: \[ [-4;1]\cup(-2;5)=[-4;5) \]
г) \(A=(-\infty;7]\), \(B=[5;+\infty)\)
Пересечение. Левая граница: \(\max(-\infty;5)=5\), \(5\in B\) — квадратная скобка. Правая: \(\min(7;+\infty)=7\), \(7\in A\) — тоже квадратная. \[ (-\infty;7]\cap[5;+\infty)=[5;7] \]
Объединение. Первый луч тянется влево без ограничения, второй — вправо, вместе они покрывают всю числовую прямую: \[ (-\infty;7]\cup[5;+\infty)=(-\infty;+\infty) \]
Проверка на числовой прямой. Для каждого пункта отметьте границы: в а) закрашены \(4\) и \(7\), выколоты \(0\) и \(6\); в в) закрашены \(-4\) и \(1\), выколоты \(-2\) и \(5\); в г) закрашены \(5\) и \(7\). Совпадающие концы промежутков должны давать именно те скобки, что в ответе.
Спасибо
Пожалуйста! Рад, что разобрались.
Если нужно — могу так же по шагам разобрать любой другой номер с этой страницы, например 214 (пересечение и объединение числовых лучей) или 215 с проверкой истинности утверждений.
