194 Перечислите все элементы множества: а) различных остатков при делении на 5; б) простых чисел, которые больше 10 и меньше 20; в) названий месяцев, заканчивающихся на «ябрь».

Краткий ответ

а) \(0, 1, 2, 3, 4\) б) \(11, 13, 17, 19\) в) сентябрь, октябрь, ноябрь

Как рассуждать

Множество задают перечислением: элементы записывают в фигурных скобках, каждый — один раз, порядок не важен. Значит, в каждом пункте нужно: понять, из каких чисел (или слов) вообще выбираем, отобрать подходящие и проверить, что ничего не забыто.

а) Остатки при делении на 5. Остаток всегда меньше делителя и не бывает отрицательным: \(0 \le r < 5\). Значит, возможны только \(0, 1, 2, 3, 4\). Остаток \(0\) — это случай деления нацело: \(20 = 5\cdot4 + 0\).

б) Простые числа от 10 до 20. Простое число — натуральное число больше \(1\), у которого ровно два делителя: \(1\) и само число. Проверяем каждое число от \(11\) до \(19\):

• \(11\) — простое;
• \(12 = 2\cdot6\) — нет; \(14 = 2\cdot7\) — нет; \(15 = 3\cdot5\) — нет; \(16 = 2\cdot8\) — нет; \(18 = 2\cdot9\) — нет;
• \(13\), \(17\), \(19\) — простые.

Проверять делимость достаточно до \(\sqrt{19} \approx 4{,}4\), то есть только на \(2\) и \(3\): если бы число было составным, у него нашёлся бы меньший делитель.

в) Месяцы на «ябрь». Выписываем все двенадцать: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь. Последние четыре буквы:

• сен-тябрь, ок-тябрь, но-ябрь — подходят;
• дек-абрь — оканчивается на «абрь», поэтому не подходит. Это и есть ловушка пункта.

Проверка

• В пункте а) ровно \(5\) элементов, все различные, каждый меньше \(5\).
• В пункте б) \(4\) элемента, все больше \(10\) и меньше \(20\), у каждого только два делителя.
• В пункте в) \(3\) элемента, каждое слово — название месяца и заканчивается на «ябрь».

Число элементов совпадает с ожидаемым, лишних и пропущенных нет.