а) \(x^{2} - 4{,}8x - 1 < 0\); в) \(\frac{x^{2}}{5} - \frac{3x}{7} + 8 < 0\)

Кратко:

• а) \(x \in (-0{,}2;\, 5)\);
• в) решений нет: \(x \in \varnothing\).

Общий принцип. Квадратное неравенство решают через параболу: приводят к виду \(ax^{2}+bx+c \lessgtr 0\), находят корни и смотрят, где график ниже или выше оси \(Ox\). При \(a>0\) ветви направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями и положительно вне их. Если корней нет, знак везде одинаковый.

а) \(x^{2}-4{,}8x-1<0\)

\[ D=(-4{,}8)^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)=23{,}04+4=27{,}04=5{,}2^{2} \]

\[ x_{1}=\frac{4{,}8+5{,}2}{2}=5,\qquad x_{2}=\frac{4{,}8-5{,}2}{2}=-0{,}2 \]

Здесь \(a=1>0\), нужен знак «меньше нуля» — значит, берём промежуток между корнями:

\[ -0{,}2<x<5 \]

в) \(\dfrac{x^{2}}{5}-\dfrac{3x}{7}+8<0\)

Умножаем обе части на \(35>0\) — знак неравенства не меняется:

\[ 7x^{2}-15x+280<0 \]

\[ D=15^{2}-4\cdot 7\cdot 280=225-7840=-7615<0 \]

Корней нет, ветви вверх при \(a=7>0\) — парабола целиком лежит выше оси, левая часть всегда положительна. Поэтому решений нет.

Проверка. В а) при \(x=0\): \(0-0-1=-1<0\) ✓, и ноль лежит внутри \((-0{,}2;\,5)\); при \(x=6\): \(36-28{,}8-1=6{,}2>0\) ✓ — уже вне промежутка. В в) при \(x=0\) получаем \(8>0\) ✓ — значение положительное, что согласуется с отсутствием корней.