Задача № 1. На каком расстоянии друг от друга находятся два одинаковых шара массами по 20 т, если сила тяготения между ними 6,67•10⁻⁵ Н?

Краткие ответы

1. \(r = 20\) м
2. \(g \approx 10{,}6\) м/с²
3. \(g \approx 1{,}1\) м/с² (в 9 раз меньше, чем у поверхности Земли)

Общая идея всех трёх задач

Везде работает один закон — закон всемирного тяготения:

\[F = G\frac{m_1 m_2}{r^{2}}, \qquad G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\]

Если тело находится на расстоянии \(r\) от центра планеты, то сила тяжести \(F = mg\) — это и есть сила тяготения, поэтому

\[g = \frac{GM}{r^{2}}\]

Главные ловушки: массу переводить в килограммы, а \(r\) всегда отсчитывать от центра планеты, а не от поверхности.

Задача 1

Дано: \(m_1 = m_2 = 20\) т \(= 2\cdot10^{4}\) кг, \(F = 6{,}67\cdot10^{-5}\) Н.

\[F = G\frac{m^{2}}{r^{2}} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{Gm^{2}}{F}}\]

\[r = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\left(2\cdot10^{4}\right)^{2}}{6{,}67\cdot10^{-5}}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4\cdot10^{8}}{6{,}67\cdot10^{-5}}} = \sqrt{400} = 20\ \text{м}\]

Проверка: \(F = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{4\cdot10^{8}}{400} = 6{,}67\cdot10^{-5}\) Н — сходится.

Задача 2

Дано: \(M = 5{,}7\cdot10^{26}\) кг, \(R = 6\cdot10^{7}\) м.

\[g = \frac{GM}{R^{2}} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}7\cdot10^{26}}{\left(6\cdot10^{7}\right)^{2}} = \frac{3{,}80\cdot10^{16}}{3{,}6\cdot10^{15}} \approx 10{,}6\ \text{м/с}^{2}\]

Проверка: у Сатурна действительно \(g \approx 10{,}4\) м/с² — порядок верный.

Задача 3

Высота \(h = 2R\), значит расстояние до центра:

\[r = R + h = R + 2R = 3R\]

\[g = \frac{GM}{(3R)^{2}} = \frac{1}{9}\cdot\frac{GM}{R^{2}} = \frac{g_0}{9} \approx \frac{9{,}8}{9} \approx 1{,}1\ \text{м/с}^{2}\]

Проверка: расстояние выросло в 3 раза, а \(g\) падает как \(1/r^{2}\), то есть в 9 раз — всё логично.

Вывод для похожих задач: найдите \(r\) от центра, подставьте в \(F = G\dfrac{m_1m_2}{r^{2}}\) или \(g = \dfrac{GM}{r^{2}}\), и всё сводится к арифметике со степенями десятки.