Стороны параллелограмма равны 3 см и 4 см, а угол между ними равен 120°. Чему равны диагонали параллелограмма?

Краткий ответ: \[ AC=\sqrt{37}\ \text{см},\qquad BD=\sqrt{13}\ \text{см}. \]

Как это получается

В параллелограмме соседние углы в сумме дают \(180^\circ\). На рисунке тупой угол \(120^\circ\) находится при вершине \(B\), значит: \[ \angle ABC=120^\circ,\qquad \angle BAD=60^\circ. \]

1. Диагональ \(AC\) — сторона треугольника \(ABC\), где \(AB=3\), \(BC=4\), а угол между ними \(120^\circ\). По теореме косинусов: \[ AC^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\cos120^\circ. \] Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\): \[ AC^2=9+16-24\cdot\left(-\frac12\right)=25+12=37, \] \[ AC=\sqrt{37}\ \text{см}. \]

2. Диагональ \(BD\) — сторона треугольника \(ABD\), где \(AB=3\), \(AD=4\), а угол между ними \(60^\circ\): \[ BD^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\cos60^\circ. \] Так как \(\cos60^\circ=\frac12\): \[ BD^2=25-24\cdot\frac12=25-12=13, \] \[ BD=\sqrt{13}\ \text{см}. \]

Проверка: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: \[ 37+13=50=2(3^2+4^2). \] Всё сходится.