Номер 134 135 136
Сверь числа и знаки с фото.
134 Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в середине отрезка \(AC\), точке \(O\), \(\angle BCO=\angle DAO\). Докажите, что \(\triangle BOA=\triangle DOC\). 135 В треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) отрезки \(CO\) и \(C_1O_1\) — медианы, \(BC=B_1C_1\), \(\angle B=\angle B_1\) и \(\angle C=\angle C_1\). Докажите, что: а) \(\triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1\); б) \(\triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1\). 136 В треугольниках \(DEF\) и \(MNP\) \(EF=NP\), \(DF=MP\) и \(\angle F=\angle P\). Биссектрисы углов \(E\) и \(D\) пересекаются в точке \(O\), а биссектрисы углов \(M\) и \(N\) — в точке \(K\). Докажите, что \(\angle DOE=\angle MKN\).
Кратко: в № 134 сначала доказываем равенство \(\triangle BCO\) и \(\triangle DAO\), а затем — \(\triangle BOA\) и \(\triangle DOC\). В № 135 используем равенство больших треугольников и то, что медиана делит сторону пополам. В № 136 треугольники \(DEF\) и \(MNP\) равны, поэтому равны и углы между соответствующими биссектрисами.
№ 134
Дано: \(O\) — середина \(AC\), поэтому \[ AO=OC. \] Также \(A,O,C\) лежат на одной прямой, а \(B,O,D\) — на другой.
Рассмотрим \(\triangle BCO\) и \(\triangle DAO\):
- \(CO=AO\) — так как \(O\) середина \(AC\);
- \(\angle BCO=\angle DAO\) — по условию;
- \(\angle BOC=\angle DOA\) — вертикальные углы.
Значит, по второму признаку равенства треугольников \[ \triangle BCO\cong\triangle DAO. \] Отсюда следует равенство соответствующих сторон: \[ BO=DO. \]
Теперь рассмотрим \(\triangle BOA\) и \(\triangle DOC\):
- \(BO=DO\) — только что доказано;
- \(OA=OC\) — \(O\) середина \(AC\);
- \(\angle BOA=\angle DOC\) — вертикальные углы.
По первому признаку: \[ \triangle BOA\cong\triangle DOC. \]
№ 135
По условию в треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1,\qquad \angle C=\angle C_1. \] Сторона \(BC\) лежит между углами \(B\) и \(C\), поэтому треугольники равны по второму признаку: \[ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1. \] Следовательно, \[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \]
Так как \(CO\) и \(C_1O_1\) — медианы, точки \(O\) и \(O_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\): \[ AO=OB=\frac{AB}{2},\qquad A_1O_1=O_1B_1=\frac{A_1B_1}{2}. \] Поскольку \(AB=A_1B_1\), получаем: \[ AO=A_1O_1,\qquad BO=B_1O_1. \]
а) В \(\triangle ACO\) и \(\triangle A_1C_1O_1\): \[ AC=A_1C_1,\qquad AO=A_1O_1,\qquad \angle CAO=\angle C_1A_1O_1. \] Значит, \[ \triangle ACO\cong\triangle A_1C_1O_1. \]
б) В \(\triangle BCO\) и \(\triangle B_1C_1O_1\): \[ BC=B_1C_1,\qquad BO=B_1O_1,\qquad \angle CBO=\angle C_1B_1O_1. \] По первому признаку: \[ \triangle BCO\cong\triangle B_1C_1O_1. \]
№ 136
В треугольниках \(DEF\) и \(MNP\): \[ DF=MP,\qquad EF=NP,\qquad \angle F=\angle P. \] Угол \(F\) лежит между сторонами \(DF\) и \(EF\), а угол \(P\) — между \(MP\) и \(NP\). Поэтому по первому признаку: \[ \triangle DEF\cong\triangle MNP. \] Отсюда соответственные углы равны: \[ \angle D=\angle M,\qquad \angle E=\angle N. \]
Пусть \(DO\) и \(EO\) — биссектрисы углов \(D\) и \(E\). Тогда в треугольнике \(DOE\): \[ \angle ODE=\frac12\angle D,\qquad \angle DEO=\frac12\angle E. \] Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \[ \angle DOE =180^\circ-\left(\frac{\angle D+\angle E}{2}\right). \] Аналогично для угла \(MKN\): \[ \angle MKN =180^\circ-\left(\frac{\angle M+\angle N}{2}\right). \] Так как \(\angle D=\angle M\) и \(\angle E=\angle N\), правые части равны. Следовательно, \[ \angle DOE=\angle MKN. \]
Обсуждение
4 сообщенияРеши
134
Точка \(O\) — середина \(AC\), поэтому \[ AO=OC. \]
Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\):
- \(AO=OC\);
- \(\angle DAO=\angle BCO\) — по условию;
- \(\angle AOD=\angle COB\) — вертикальные углы.
Значит, \(\triangle AOD=\triangle COB\) по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ OD=OB. \]
Теперь в треугольниках \(BOA\) и \(DOC\):
- \(OB=OD\);
- \(OA=OC\);
- \(\angle BOA=\angle DOC\) — вертикальные углы.
По первому признаку равенства треугольников \[ \triangle BOA=\triangle DOC. \] Что и требовалось доказать.
135
Так как \(CO\) и \(C_1O_1\) — медианы, точки \(O\) и \(O_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\).
Сначала рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). У них: \[ \angle B=\angle B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle C=\angle C_1. \] По второму признаку равенства треугольников \[ \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1. \] Отсюда \[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \]
а) \(\triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1\)
Имеем: \[ AO=\frac12 AB=\frac12 A_1B_1=A_1O_1, \] \[ AC=A_1C_1, \] а углы между этими сторонами равны: \[ \angle CAO=\angle C_1A_1O_1. \] По первому признаку равенства треугольников \[ \triangle ACO=\triangle A_1C_1O_1. \]
б) \(\triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1\)
Аналогично: \[ BO=\frac12 AB=\frac12 A_1B_1=B_1O_1, \] \[ BC=B_1C_1, \] \[ \angle CBO=\angle C_1B_1O_1. \] Снова по первому признаку \[ \triangle BCO=\triangle B_1C_1O_1. \]
136
В треугольниках \(DEF\) и \(MNP\): \[ DF=MP,\qquad EF=NP,\qquad \angle F=\angle P. \] Углы \(F\) и \(P\) заключены между соответствующими сторонами, поэтому по первому признаку равенства треугольников \[ \triangle DEF=\triangle MNP. \] Следовательно, \[ \angle D=\angle M,\qquad \angle E=\angle N. \]
Так как \(DO\) и \(EO\) — биссектрисы углов \(D\) и \(E\), то \[ \angle ODE=\frac12\angle D,\qquad \angle DEO=\frac12\angle E. \] Аналогично \(KM\) и \(KN\) — биссектрисы углов \(M\) и \(N\), поэтому \[ \angle KMN=\frac12\angle M,\qquad \angle KNM=\frac12\angle N. \]
Значит, в треугольниках \(DOE\) и \(MKN\) две пары углов равны: \[ \angle ODE=\angle KMN,\qquad \angle DEO=\angle KNM. \] Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому третьи углы тоже равны: \[ \angle DOE=\angle MKN. \]
Что и требовалось доказать.
