1) а) 2⁹ · 2⁻⁴; б) 3⁻⁶ : 3⁻⁵; в) (4⁻²)⁻¹

Ответ

1. а) \(32\); б) \(\frac{1}{3}\); в) \(16\).
2. а) \(5{,}5\); б) \(21\); в) \(\frac{7}{3}\).
3. а) \(\frac{1}{x}\); б) \(0{,}06x^4y\).
4. а) \((x+5)(x-1)\); б) \((x+7)(x+1)\).
   Если это уравнения с «\(=0\)», то корни: а) \(x=-5,\ 1\); б) \(x=-7,\ -1\).
5. а) \(5+2\sqrt6\); б) \(19-8\sqrt3\).

Кроме того, выражение справа \(\sqrt{2^4\cdot3^6}=108\).

Как получается

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются, а степень степени перемножает показатели: \[ 2^9\cdot2^{-4}=2^{9-4}=2^5=32, \] \[ 3^{-6}:3^{-5}=3^{-6-(-5)}=3^{-1}=\frac{1}{3}, \] \[ (4^{-2})^{-1}=4^{(-2)(-1)}=4^2=16. \]

• Корень из произведения и дроби можно разбивать: \[ \sqrt{25\cdot1{,}21}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{1{,}21}=5\cdot1{,}1=5{,}5. \] В пункте 2б корень накрывает только дробь: \[ \sqrt{\frac{18}{2}}\cdot7=\sqrt9\cdot7=3\cdot7=21. \] Если семёрка тоже стоит под корнем, получится \(3\sqrt7\).

Далее: \[ \sqrt{\frac{147}{27}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{7}{3}, \] \[ \sqrt{2^4\cdot3^6}=2^{4/2}\cdot3^{6/2}=2^2\cdot3^3=4\cdot27=108. \]

• Для степеней: \[ (x^{-3})^4\cdot x^{11}=x^{-12+11}=x^{-1}=\frac{1}{x}, \] \[ 0{,}2x^6y^{-3}\cdot0{,}3x^{-2}y^4 =0{,}06x^{6-2}y^{-3+4}=0{,}06x^4y. \]

• Разложение на множители — подбираем два числа, дающие в сумме коэффициент при \(x\), а в произведении — свободный член: \[ x^2+4x-5=(x+5)(x-1), \] \[ x^2+8x+7=(x+7)(x+1). \] Проверка раскрытием скобок даёт исходные выражения.

• Квадрат суммы и разности: \[ (\sqrt2+\sqrt3)^2=2+2\sqrt6+3=5+2\sqrt6, \] \[ (4-\sqrt3)^2=16-8\sqrt3+3=19-8\sqrt3. \]