номер 126,129

Question

номер 126,129

Расшифровка фото нейросетью:
126 Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в середине отрезка $AB$, точке $O$, $\angle OAD = \angle OBC$.
а) Докажите, что $\triangle CBO = \triangle DAO$;
б) найдите $BC$ и $CO$, если $CD = 26$ см, $AD = 15$ см.
129 По данным рисунка 79 докажите, что $OP = OT$, $\angle P = \angle T$.
[Рисунок 79: треугольники $TCO$ и $PBO$; $C$ и $B$ — прямые углы, отмеченные квадратиками; на отрезке $CB$ засечками отмечено $CO = OB$; точки $T$, $O$, $P$ лежат на одной прямой, $C$, $O$, $B$ — на одной прямой.]

Answer

Кратко
126. а) $\triangle CBO=\triangle DAO$ по стороне и двум прилежащим углам; б) $BC=15$ см, $CO=13$ см.
129. $\triangle TCO=\triangle PBO$, поэтому $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$.

Номер 126

Дано: $O$ — середина $AB$, значит, $AO=OB$. Кроме того, $\angle OAD=\angle OBC$.

а) Докажем равенство треугольников.

1. $\angle COB=\angle DOA$ — это вертикальные углы.

2. В треугольниках $CBO$ и $DAO$:
$OB=OA$ — по условию;

$\angle CBO=\angle DAO$ — по условию (это те же углы $\angle OBC$ и $\angle OAD$);

$\angle COB=\angle DOA$ — вертикальные.

3. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам — это второй признак равенства треугольников.

$$
\triangle CBO=\triangle DAO
$$

б) Найдём стороны.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Поэтому:
$$
CB=DA=15\text{ см},\qquad CO=DO.
$$

Отрезок $CD$ состоит из двух частей:
$$
CD=CO+OD=26\text{ см}.
$$
Так как $CO=OD$, то:
$$
CO=26:2=13\text{ см}.
$$

Ответ: $BC=15$ см, $CO=13$ см.

Проверка: $13+13=26$ см, то есть $CD$ сходится; $BC=AD=15$ см.

Номер 129

По рисунку 79:

$\angle TCO=\angle PBO=90^\circ$;

$CO=OB$ — это отмечено засечками;

$\angle TOC=\angle POB$ — вертикальные углы.

Значит, прямоугольные треугольники $TCO$ и $PBO$ равны по катету и прилежащему острому углу (или по стороне и двум прилежащим углам).

В равных треугольниках соответствующие стороны и углы равны, поэтому:
$$
TO=OP,\qquad \angle T=\angle P.
$$

То есть $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$.

Что важно запомнить

Второй признак равенства: сторона и два прилежащих к ней угла.

Вертикальные углы всегда равны.

В равных треугольниках следи за порядком вершин: равные элементы стоят на соответствующих местах.

Прямоугольные треугольники можно сравнивать как обычные, но удобно применять признак «катет и острый угол».