4. Из девяти монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая монета

Кратко: монеты нужно разбить на три группы по 3. Первое взвешивание покажет, в какой тройке фальшивая монета, второе — какая именно монета в этой тройке.

Пронумеруем монеты от 1 до 9 и разделим их так:

\[ A=\{1,2,3\},\quad B=\{4,5,6\},\quad C=\{7,8,9\}. \]

Шаги решения

1. Первое взвешивание: кладём на чаши группы \(A\) и \(B\).

   • Если весы в равновесии, фальшивая монета находится в группе \(C\).
   • Если одна чаша легче, фальшивая монета находится в более лёгкой тройке: либо в \(A\), либо в \(B\).

2. Второе взвешивание: берём найденную тройку и взвешиваем две монеты из неё.

   • Если весы в равновесии, фальшивая — третья монета этой тройки.
   • Если одна монета легче, фальшивая — именно она.

Например, если первое взвешивание показало, что легче группа \(A\), взвешиваем монеты 1 и 2:

• 1 легче 2 — фальшивая монета 1;
• 2 легче 1 — фальшивая монета 2;
• равновесие — фальшивая монета 3.

Почему это работает: каждое взвешивание имеет три исхода: левая чаша легче, правая легче, равновесие. За два взвешивания можно различить \(3\cdot3=9\) вариантов — ровно столько, сколько монет. Поэтому такая схема позволяет однозначно найти фальшивую монету.