Реши
Краткий ответ
60. Разложение на линейные множители
\(2x^{2}-7x+3=(x-3)(2x-1)\)
\(6a^{2}+5a-6=(3a-2)(2a+3)\)
\(3y^{2}-11y-20=(y-5)(3y+4)\)
\(12x^{2}+7x+1=(4x+1)(3x+1)\)
\(m^{2}-2m-3=(m-3)(m+1)\)
\(-x^{2}+5x-6=(x-2)(3-x)\)
61. Сокращённые дроби
\(\dfrac{2x^{2}-9x+10}{2x^{2}+x-15}=\dfrac{x-2}{x+3}\)
\(\dfrac{3y^{2}+8y-3}{6y^{2}+13y-5}=\dfrac{y+3}{2y+5}\)
\(\dfrac{6a^{2}+5a-4}{3a^{2}+19a+20}=\dfrac{2a-1}{a+5}\)
\(\dfrac{4+3a-a^{2}}{3a^{2}+4a+1}=\dfrac{4-a}{3a+1}\)
Как это получается
Квадратный трёхчлен раскладывают по формуле
\[ ax^{2}+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \]
где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\). Их находят через дискриминант:
\[ D=b^{2}-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
Например:
\[ 2x^{2}-7x+3, \]
\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25, \]
\[ x_1=\frac{7+5}{4}=3,\qquad x_2=\frac{7-5}{4}=\frac12. \]
Значит,
\[ 2x^{2}-7x+3 =2\left(x-3\right)\left(x-\frac12\right) =(x-3)(2x-1). \]
Для дробей нужно разложить числитель и знаменатель и сократить общую скобку. Например, в 61.1:
\[ \frac{2x^{2}-9x+10}{2x^{2}+x-15} = \frac{(x-2)(2x-5)}{(2x-5)(x+3)} = \frac{x-2}{x+3}. \]
Проверка
Если раскрыть скобки в 60.1:
\[ (x-3)(2x-1)=2x^{2}-x-6x+3=2x^{2}-7x+3, \]
то есть всё верно. Для дробей можно также подставить удобное число и убедиться, что исходное и сокращённое выражения дают одинаковый результат там, где они определены.
Если нужна ОДЗ, то в 61.1 исходная дробь не определена при \(x=-3\) и \(x=\frac52\); в 61.2 — при \(y=-\frac52\) и \(y=\frac13\); в 61.3 — при \(a=-5\) и \(a=-\frac43\); в 61.4 — при \(a=-\frac13\) и \(a=-1\).
