60. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен: 1) 2x² − 7x + 3; 2) 6a² + 5a − 6; 3) 3y² − 11y − 20;

Question

реши

Расшифровка фото нейросетью:
60. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен:

1. $2x^2 - 7x + 3$; 2) $6a^2 + 5a - 6$;

2. $3y^2 - 11y - 20$; 4) $12x^2 + 7x + 1$;

3. $m^2 - 2m - 3$; 6) $-x^2 + 5x - 6$.

61. Сократите дробь:

1. $\frac{2x^2 - 9x + 10}{2x^2 + x - 15}$; 2) $\frac{3y^2 + 8y - 3}{6y^2 + 13y - 5}$;

2. $\frac{6a^2 + 5a - 4}{3a^2 + 19a + 20}$; 4) $\frac{4 + 3a - a^2}{3a^2 + 4a + 1}$.

Answer

На фото два номера — 60 и 61. Решаю оба.

Краткий ответ

60.

1. $2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)$

2. $6a^2+5a-6=(3a-2)(2a+3)$

3. $3y^2-11y-20=(y-5)(3y+4)$

4. $12x^2+7x+1=(4x+1)(3x+1)$

5. $m^2-2m-3=(m-3)(m+1)$

6. $-x^2+5x-6=(x-2)(3-x)$

61.

1. $\dfrac{x-2}{x+3}$, $x\ne -3,\ x\ne \dfrac52$

2. $\dfrac{y+3}{2y+5}$, $y\ne -\dfrac52,\ y\ne \dfrac13$

3. $\dfrac{2a-1}{a+5}$, $a\ne -5,\ a\ne -\dfrac43$

4. $\dfrac{4-a}{3a+1}$, $a\ne -1,\ a\ne -\dfrac13$

Как это получается

Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ раскладывается так:
$$
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),
$$
где $x_1,x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Например, для №60.1:
$$
2x^2-7x+3=0,\qquad D=49-24=25,
$$
$$
x_{1,2}=\frac{7\pm5}{4},
$$
поэтому $x_1=3,\ x_2=\dfrac12$. Значит:
$$
2x^2-7x+3=2(x-3)\left(x-\frac12\right)=(x-3)(2x-1).
$$

В №61 сначала раскладываем числитель и знаменатель, затем сокращаем общий множитель:
$$
\frac{2x^2-9x+10}{2x^2+x-15}
=
\frac{(x-2)(2x-5)}{(x+3)(2x-5)}
=
\frac{x-2}{x+3}.
$$

Остальные дроби раскладываются аналогично:

$3y^2+8y-3=(y+3)(3y-1)$, $6y^2+13y-5=(2y+5)(3y-1)$;

$6a^2+5a-4=(2a-1)(3a+4)$, $3a^2+19a+20=(a+5)(3a+4)$;

$4+3a-a^2=(4-a)(a+1)$, $3a^2+4a+1=(3a+1)(a+1)$.

Ограничения для $x,y,a$ нужны потому, что исходные знаменатели не должны равняться нулю.

Проверка: если в №61.1 подставить $x=0$, исходная дробь равна $\frac{10}{-15}=-\frac23$, и сокращённая тоже $\frac{-2}{3}=-\frac23$.