номер 126,129

Question

номер 126,129

Расшифровка фото нейросетью:
126 Отрезки AB и CD пересекаются в середине отрезка AB, точке O, ∠OAD = ∠OBC.
а) Докажите, что △CBO = △DAO;
б) найдите BC и CO, если CD = 26 см, AD = 15 см.

129 По данным рисунка 79 докажите, что OP = OT, ∠P = ∠T.

[Рисунок 79: на горизонтальной прямой отмечены точки C, O, B, причём O находится между C и B; над точкой C расположена точка T, отрезок TC перпендикулярен CB (при C отмечен прямой угол); под точкой B расположена точка P, отрезок BP перпендикулярен CB (при B отмечен прямой угол); точки T, O, P лежат на одной прямой; на отрезках CO и OB нанесены одинаковые засечки, обозначающие равенство CO = OB.]

Answer

Кратко:
126. а) $\triangle CBO=\triangle DAO$ по стороне и двум прилежащим углам; б) $BC=15$ см, $CO=13$ см.
129. $\triangle TCO=\triangle PBO$, поэтому $OP=OT$ и $\angle P=\angle T$.

126

1. $O$ — середина $AB$, значит,
$$
AO=OB.
$$

2. $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, поэтому углы при $O$ вертикальные:
$$
\angle AOD=\angle BOC.
$$

3. По условию:
$$
\angle OAD=\angle OBC.
$$

4. В $\triangle DAO$ сторона $AO$ прилежит к углам $\angle OAD$ и $\angle AOD$.
В $\triangle CBO$ сторона $BO$ прилежит к равным им углам $\angle OBC$ и $\angle BOC$.

Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам — это второй признак равенства треугольников:
$$
\triangle DAO=\triangle CBO.
$$

5. Из равенства треугольников:
$$
AD=BC,\qquad DO=CO.
$$

Поэтому
$$
BC=AD=15\text{ см}.
$$

Так как $O$ лежит между $C$ и $D$, то
$$
CD=CO+OD=2CO.
$$
Отсюда
$$
CO=\frac{CD}{2}=\frac{26}{2}=13\text{ см}.
$$

Проверка: $13+13=26$ см, $BC=AD=15$ см.

129

1. По рисунку 79:
$$
\angle TCO=\angle PBO=90^\circ,
$$
и равные отрезки отмечены засечками:
$$
CO=OB.
$$
Точки $T,O,P$ лежат на одной прямой.

2. Углы $\angle TOC$ и $\angle POB$ вертикальные, поэтому
$$
\angle TOC=\angle POB.
$$

3. В $\triangle TCO$ сторона $CO$ прилежит к углам $90^\circ$ и $\angle TOC$.
В $\triangle PBO$ сторона $OB$ прилежит к равным им углам $90^\circ$ и $\angle POB$.

Значит,
$$
\triangle TCO=\triangle PBO
$$
по стороне и двум прилежащим углам.

4. В равных треугольниках соответствующие элементы равны:
$$
TO=OP,\qquad \angle T=\angle P.
$$

Это же можно сказать короче: прямоугольные треугольники равны по катету и острому углу.

Что здесь главное: сначала находим готовые равные элементы — середину или засечки дают равные стороны, пересекающиеся прямые дают вертикальные углы, квадратики — прямые углы. Затем выбираем признак так, чтобы равная сторона находилась между двумя равными углами.