3. Пакажыце відарыс трохвугольніка ABC. Пабудуйце трохвугольнік, сіметрычны трохвугольніку ABC: а) адносна вяршыні C; б) адносна пункта перасячэння медыян.

Кратко: здесь нужна центральная симметрия. В пункте а) её центр — вершина \(C\), поэтому \(C\) остаётся на месте. В пункте б) центр — точка \(M\) пересечения медиан; от неё отражаются все три вершины.

а) Симметрия относительно вершины \(C\)

1. Продли отрезок \(AC\) за точку \(C\) и отложи \(CA_1=CA\).
2. Продли \(BC\) за \(C\) и отложи \(CB_1=CB\).
3. Соедини точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C\).

Полученный треугольник \(A_1B_1C\) симметричен треугольнику \(ABC\) относительно \(C\).
Точка \(C\) — середина отрезков \(AA_1\) и \(BB_1\):

\[ \vec{CA_1}=-\vec{CA},\qquad \vec{CB_1}=-\vec{CB}. \]

б) Симметрия относительно точки пересечения медиан

1. Построй две медианы треугольника \(ABC\), например \(AD\) и \(BE\), где \(D\) — середина \(BC\), \(E\) — середина \(AC\).
2. Их точка пересечения — \(M\).
3. Проведи прямую \(AM\), продли её за \(M\) и отложи \(MA_1=MA\).
4. Аналогично построй \(B_1\): \(MB_1=MB\), и \(C_1\): \(MC_1=MC\).
5. Соедини \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\).

Тогда \(M\) — середина каждого из отрезков \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), поэтому треугольник \(A_1B_1C_1\) симметричен \(ABC\) относительно \(M\).

Проверка

При центральной симметрии расстояния сохраняются, поэтому

\[ A_1B_1=AB,\qquad B_1C_1=BC,\qquad C_1A_1=CA. \]

Значит, полученные треугольники равны исходному. Кроме того, соответствующие стороны параллельны: \(A_1B_1\parallel AB\) и т. д. В пункте а) точка \(C\) неподвижна, в пункте б) неподвижна точка \(M\).