341 четные и 342 второе уравнение

Краткий ответ: \[ 341(2):\ x=1;\qquad 341(4):\ x=3,\ x=5;\qquad 342(2):\ (x;y)=(1;9). \]

341, № 2

\[ \log_{\frac13}x\cdot \log_{\frac13}(3x-2)=\log_{\frac13}(3x-2) \]

ОДЗ: \(x>0\) и \(3x-2>0\), то есть

\[ x>\frac23. \]

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

\[ \log_{\frac13}(3x-2)\left(\log_{\frac13}x-1\right)=0. \]

Получаем два случая.

1. \(\log_{\frac13}(3x-2)=0\):

\[ 3x-2=1,\qquad x=1. \]

2. \(\log_{\frac13}x=1\):

\[ x=\frac13. \]

Но \(x=\frac13\) не входит в ОДЗ, так как \(\frac13<\frac23\). Поэтому этот корень отбрасываем.

Ответ: \(x=1\).

341, № 4

\[ \log_{\sqrt3}(x-2)\cdot \log_5 x=2\log_3(x-2) \]

ОДЗ:

\[ x-2>0,\qquad x>2. \]

Перейдём к основанию \(3\):

\[ \log_{\sqrt3}(x-2)= \frac{\log_3(x-2)}{\log_3\sqrt3} =\frac{\log_3(x-2)}{\frac12} =2\log_3(x-2). \]

Тогда уравнение принимает вид

\[ 2\log_3(x-2)\cdot \log_5 x=2\log_3(x-2). \]

Переносим и выносим общий множитель:

\[ 2\log_3(x-2)\left(\log_5 x-1\right)=0. \]

Значит:

1. \(\log_3(x-2)=0\):

\[ x-2=1,\qquad x=3. \]

2. \(\log_5 x=1\):

\[ x=5. \]

Оба корня больше \(2\), значит оба подходят.

Ответ: \(x=3;\ 5\).

342, № 2

\[ \begin{cases} \log_3 x+\log_3 y=2,\\ x^2y-2y+9=0. \end{cases} \]

ОДЗ:

\[ x>0,\qquad y>0. \]

Из первого уравнения:

\[ \log_3(xy)=2, \]

\[ xy=3^2=9. \]

Отсюда

\[ y=\frac9x. \]

Подставляем во второе уравнение:

\[ x^2\cdot \frac9x-2\cdot \frac9x+9=0, \]

\[ 9x-\frac{18}{x}+9=0. \]

Умножим на \(x>0\):

\[ 9x^2+9x-18=0, \]

\[ x^2+x-2=0, \]

\[ (x-1)(x+2)=0. \]

Получаем \(x=1\) или \(x=-2\). Корень \(x=-2\) не подходит из-за ОДЗ \(x>0\). Значит \(x=1\), а

\[ y=\frac91=9. \]

Проверка:

\[ \log_3 1+\log_3 9=0+2=2, \]

\[ 1^2\cdot 9-2\cdot 9+9=9-18+9=0. \]

Ответ: \((x;y)=(1;9)\).

Главное: логарифмические уравнения удобно сводить к произведению, равному нулю, но нельзя сокращать на выражение с неизвестным, не рассмотрев случай, когда оно равно нулю. В системе сначала используем свойство суммы логарифмов, затем подстановку.