103 В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1. 104 На сторонах угла CAD отмечены точки B и E

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
103 В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $P$ и $P_1$ так, что $AP=A_1P_1$. Докажите, что $\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1$.
104 На сторонах угла $CAD$ отмечены точки $B$ и $E$ так, что точка $B$ лежит на отрезке $AC$, а точка $E$ — на отрезке $AD$. Известно, что $AC=AD$ и $AB=AE$. Докажите, что $\angle CBD=\angle DEC$.

Answer

На фото два задания — 103 и 104. Решил оба.

103

Кратко: $\triangle BPC\cong\triangle B_1P_1C_1$.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$:
$$
AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.
$$
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

2. Поэтому
$$
BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1.
$$

3. Так как $P\in AB$, $P_1\in A_1B_1$ и $AP=A_1P_1$, то
$$
PB=AB-AP=A_1B_1-A_1P_1=P_1B_1.
$$

4. В треугольниках $BPC$ и $B_1P_1C_1$:
$$
PB=P_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle PBC=\angle P_1B_1C_1.
$$
По признаку SAS они равны:
$$
\triangle BPC\cong\triangle B_1P_1C_1.
$$

104

Кратко: $\angle CBD=\angle DEC$.

1. Точка $B$ лежит на $AC$, точка $E$ — на $AD$, поэтому
$$
\angle BAD=\angle EAC.
$$
Кроме того, дано:
$$
AB=AE,\quad AD=AC.
$$
Значит,
$$
\triangle ABD\cong\triangle AEC
$$
по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$
BD=EC.
$$

2. Из равенств $AC=AD$ и $AB=AE$ следует:
$$
BC=AC-AB=AD-AE=ED.
$$

3. В треугольниках $BCD$ и $EDC$:
$$
BC=ED,\quad CD=DC,\quad BD=EC.
$$
Значит, они равны по трём сторонам:
$$
\triangle BCD\cong\triangle EDC.
$$

4. В равных треугольниках против равных сторон $CD$ и $DC$ лежат равные углы:
$$
\angle CBD=\angle DEC.
$$

Что запомнить: сначала ищем равные треугольники по известным элементам. Если стороны целиком не даны, их можно получить вычитанием равных отрезков из равных сторон.