Реши задание на изображении

Кратко: все три номера доказываются через признаки равенства треугольников.

№ 134

Дано: \(O\) — середина \(AC\), то есть \(AO=OC\); точки \(B,O,D\) лежат на одной прямой, \(A,O,C\) — тоже; \(\angle BCO=\angle DAO\).

1. Рассмотрим \(\triangle BCO\) и \(\triangle DAO\):

   • \(OC=OA\) — так как \(O\) середина \(AC\);
   • \(\angle BCO=\angle DAO\) — по условию;
   • \(\angle BOC=\angle DOA\) — вертикальные углы.

   Значит, \(\triangle BCO\cong\triangle DAO\) по стороне и двум прилежащим углам.

   Отсюда \(BO=DO\).

2. Теперь рассмотрим \(\triangle BOA\) и \(\triangle DOC\):

   • \(BO=DO\);
   • \(OA=OC\);
   • \(\angle BOA=\angle DOC\) — вертикальные углы.

   По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle BOA\cong\triangle DOC. \]

Что и требовалось доказать.

№ 135

Так как \(CO\) и \(C_1O_1\) — медианы, точки \(O\) и \(O_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\).

В треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1,\qquad \angle C=\angle C_1. \] Сторона \(BC\) лежит между углами \(B\) и \(C\), поэтому \[ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1 \] по стороне и двум прилежащим углам.

Следовательно, \[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \]

а) \(\triangle ACO\cong\triangle A_1C_1O_1\)

Имеем: \[ AC=A_1C_1, \] \[ AO=\frac{AB}{2}=\frac{A_1B_1}{2}=A_1O_1, \] \[ \angle OAC=\angle A=\angle A_1=\angle O_1A_1C_1. \] Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

б) \(\triangle BCO\cong\triangle B_1C_1O_1\)

Имеем: \[ BC=B_1C_1, \] \[ BO=\frac{AB}{2}=\frac{A_1B_1}{2}=B_1O_1, \] а угол \(OBC\) — это тот же угол \(ABC\), поэтому \[ \angle OBC=\angle B=\angle B_1=\angle O_1B_1C_1. \] Снова по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle BCO\cong\triangle B_1C_1O_1. \]

№ 136

В треугольниках \(DEF\) и \(MNP\): \[ EF=NP,\qquad DF=MP,\qquad \angle F=\angle P. \] Угол \(F\) заключён между сторонами \(DF\) и \(EF\), а угол \(P\) — между \(MP\) и \(NP\). Поэтому \[ \triangle DEF\cong\triangle MNP \] по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, \[ \angle D=\angle M,\qquad \angle E=\angle N. \]

Точка \(O\) лежит на биссектрисах углов \(D\) и \(E\), поэтому в треугольнике \(DOE\): \[ \angle ODE=\frac{\angle D}{2},\qquad \angle DEO=\frac{\angle E}{2}. \] Тогда \[ \angle DOE=180^\circ-\frac{\angle D+\angle E}{2}. \] Но \(\angle D+\angle E=180^\circ-\angle F\), значит \[ \angle DOE =180^\circ-\frac{180^\circ-\angle F}{2} =90^\circ+\frac{\angle F}{2}. \]

Аналогично для точки \(K\): \[ \angle MKN =90^\circ+\frac{\angle P}{2}. \]

Так как \(\angle F=\angle P\), получаем: \[ \angle DOE=\angle MKN. \]

Что и требовалось доказать.