2. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза c и катет a. Найдите второй катет, если: а) c = 5, a = 3; б) c = 13, a = 5; в) c = 10, a = 8.

Краткий ответ: а) \(4\); б) \(12\); в) \(6\).

Как решать

В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) работает теорема Пифагора:

\[ a^2+b^2=c^2. \]

Второй катет можно найти так:

\[ b^2=c^2-a^2, \qquad b=\sqrt{c^2-a^2}. \]

Длина катета положительна, поэтому берём положительный корень.

а) \(c=5,\ a=3\): \[ b=\sqrt{5^2-3^2} =\sqrt{25-9} =\sqrt{16}=4. \]

б) \(c=13,\ a=5\): \[ b=\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{169-25} =\sqrt{144}=12. \]

в) \(c=10,\ a=8\): \[ b=\sqrt{10^2-8^2} =\sqrt{100-64} =\sqrt{36}=6. \]

Проверка: \(3^2+4^2=5^2\); \(5^2+12^2=13^2\); \(8^2+6^2=10^2\).

Принцип для похожего задания: сначала возведи \(c\) и \(a\) в квадрат, вычти \(a^2\) из \(c^2\), затем извлеки квадратный корень.