объясни задачу с ромбом
Сверь числа и знаки с фото.
Впишите правильный ответ. Диагональ \(AC\) ромба \(ABCD\) равна \(20\), а \(\mathrm{tg}\,\angle BCA=0{,}7\). Найдите площадь ромба. [Рисунок: ромб \(ABCD\); \(A\) — слева, \(B\) — сверху, \(D\) — снизу; правая часть ромба [обрезано]; проведены диагонали \(AC\) и \(BD\).]
Краткий ответ: площадь ромба равна \(140\).
Главная идея: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому ромб можно разбить на четыре равных прямоугольных треугольника.
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Тогда \[ CO=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10. \]
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BOC\). Угол \(\angle BCO\) — это тот же угол \(BCA\). Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: \[ \mathrm{tg}\,\angle BCA=\frac{BO}{CO}. \] Значит, \[ 0{,}7=\frac{BO}{10},\qquad BO=7. \]
Диагональ \(BD\) в два раза больше \(BO\): \[ BD=2\cdot 7=14. \]
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \[ S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD =\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 14=140. \]
Проверка: каждый из четырёх прямоугольных треугольников имеет катеты \(10\) и \(7\), его площадь \(35\), а всего \(4\cdot 35=140\). Всё сходится.
Обсуждение
2 сообщениякак мы поняли что BD или bo = 14
Коротко: \(BO=7\), а \(BD=14\). То есть \(14\) — это вся диагональ \(BD\), а не её половина \(BO\).
Почему \(BO=7\)
\(O\) — точка пересечения диагоналей ромба. В ромбе диагонали делятся пополам, поэтому \[ CO=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10. \]
Треугольник \(BOC\) прямоугольный: диагонали ромба перпендикулярны. Угол \(BCO\) — это тот же угол, что \(\angle BCA\), ведь точка \(O\) лежит на диагонали \(AC\).
В прямоугольном треугольнике тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему: \[ \operatorname{tg}\angle BCO=\frac{BO}{CO}. \] Подставляем известное: \[ 0{,}7=\frac{BO}{10}. \]
Умножаем обе части на \(10\): \[ BO=0{,}7\cdot 10=7. \]
Почему \(BD=14\)
Точка \(O\) делит диагональ \(BD\) пополам, поэтому \[ BD=BO+OD=2\cdot BO=2\cdot 7=14. \]
Проверка: \(\frac{BO}{CO}=\frac{7}{10}=0{,}7\) — как и должно быть по условию. Значит, \(BO=7\), а \(BD=14\); в формуле площади используется именно вся диагональ \(BD=14\).
