Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получить

Способ 1. По теореме Виета. Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбираем два числа: они дают в сумме 5, а в произведении 6 — это \(2\) и \(3\).

Способ 2. Через дискриминант (если подбор не очевиден):

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

Отсюда \(x_{1}=\frac{6}{2}=3\), \(x_{2}=\frac{4}{2}=2\).

Способ 3. Разложением на множители. Ищем числа, дающие в сумме \(-5\), а в произведении \(6\): это \(-2\) и \(-3\).

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: у приведённого квадратного уравнения корни удобно искать по сумме и произведению (Виет), а при сомнениях всегда работает дискриминант. Не забывай проверять корни подстановкой — так ошибка в знаках сразу видна.