180. Укажите асимптоты гиперболы: а) y = 10/(x − 5) − 2; б) y = 8/(x + 2) − 3.

Полностью на фото читается № 180; нижнее задание обрезано, поэтому решаю его.

Краткий ответ

• а) \(x=5\) — вертикальная асимптота, \(y=-2\) — горизонтальная;
• б) \(x=-2\) — вертикальная асимптота, \(y=-3\) — горизонтальная.

Как понять

Функция вида

\[ y=\frac{k}{x-m}+n \]

получается из графика \(y=\frac{k}{x}\) сдвигами. Поэтому у неё:

• вертикальная асимптота: \(x=m\), так как при \(x=m\) знаменатель равен нулю;
• горизонтальная асимптота: \(y=n\), потому что при \(x\to\pm\infty\) дробь \(\frac{k}{x-m}\to 0\).

В пункте а: \[ y=\frac{10}{x-5}-2 \] знаменатель обращается в ноль при \(x=5\), а постоянная часть равна \(-2\). Значит, асимптоты: \(x=5\) и \(y=-2\).

В пункте б: \[ y=\frac{8}{x+2}-3 \] знаменатель обращается в ноль при \(x=-2\), постоянная часть равна \(-3\). Значит, асимптоты: \(x=-2\) и \(y=-3\).

Проверка: при больших по модулю \(x\) дроби \(\frac{10}{x-5}\) и \(\frac{8}{x+2}\) становятся близки к нулю, поэтому графики приближаются соответственно к прямым \(y=-2\) и \(y=-3\). Вблизи нулей знаменателей графики уходят вверх или вниз, стремясь к вертикальным прямым.