реши 966(а, в), 969 (б)

Краткие ответы

966. а)
\[ x^2+(y-5)^2=9 \]

966. в)
\[ (x+3)^2+(y+7)^2=\frac14 \]

969. б)
\[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

Как это получается

Общее уравнение окружности с центром \(A(x_0;y_0)\) и радиусом \(r\):

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \]

То есть из координаты точки вычитаем координату центра, а радиус обязательно возводим в квадрат.

966. а)

Центр \(A(0;5)\), радиус \(r=3\):

\[ (x-0)^2+(y-5)^2=3^2 \]

\[ x^2+(y-5)^2=9 \]

966. в)

Центр \(A(-3;-7)\), радиус \(r=\frac12\):

\[ (x-(-3))^2+(y-(-7))^2=\left(\frac12\right)^2 \]

Минус на минус даёт плюс:

\[ (x+3)^2+(y+7)^2=\frac14 \]

969. б)

Даны концы диаметра:

\[ M(2;-1), \quad N(4;3) \]

Если \(MN\) — диаметр, то центр окружности — середина отрезка \(MN\):

\[ x_0=\frac{2+4}{2}=3,\qquad y_0=\frac{-1+3}{2}=1 \]

Значит, центр:

\[ O(3;1) \]

Радиус — половина диаметра:

\[ MN=\sqrt{(4-2)^2+(3-(-1))^2} \]

\[ MN=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5 \]

\[ r=\frac{MN}{2}=\sqrt5 \]

\[ r^2=5 \]

Получаем уравнение:

\[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

Проверка для 969. б

Подставим точку \(M(2;-1)\):

\[ (2-3)^2+(-1-1)^2=1+4=5 \]

Подставим точку \(N(4;3)\):

\[ (4-3)^2+(3-1)^2=1+4=5 \]

Обе точки лежат на окружности, значит уравнение найдено верно.