реши задачу по данному чертежу, запиши решение кратко, но со всеми объяснениями по чему определению, по свойству, по теореме или так далее.

Ответ:
\[ \angle A=\angle D=60^\circ,\qquad \angle B=\angle C=120^\circ. \]

Решение

По чертежу \(AD\parallel BC\), \(AB=BC=CD\), \(\angle ACD=90^\circ\).

Пусть \[ \angle BCA=x. \]

1. \(AB=BC\), поэтому \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\). По свойству углов при основании: \[ \angle BAC=\angle BCA=x. \]

2. \(AD\parallel BC\), а \(AC\) — секущая. По свойству накрест лежащих углов: \[ \angle CAD=\angle BCA=x. \] Значит, \[ \angle A=\angle BAC+\angle CAD=2x. \]

3. \(AB=CD\), значит, трапеция \(ABCD\) равнобедренная по определению. По свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны: \[ \angle A=\angle D. \]

4. В прямоугольном \(\triangle ACD\) по теореме о сумме углов треугольника: \[ \angle D=180^\circ-90^\circ-x=90^\circ-x. \]

Тогда \[ 2x=90^\circ-x, \] \[ 3x=90^\circ, \] \[ x=30^\circ. \]

Следовательно, \[ \angle A=\angle D=2\cdot30^\circ=60^\circ. \]

5. Внутренние односторонние углы при параллельных прямых \(AD\parallel BC\) и секущих \(AB\), \(CD\) дают: \[ \angle B=180^\circ-\angle A=120^\circ, \] \[ \angle C=180^\circ-\angle D=120^\circ. \]

Проверка:
\[ \angle C=\angle BCA+\angle ACD=30^\circ+90^\circ=120^\circ. \]

Всё верно.

Ответ: \[ AE=\frac{b-a}{2},\qquad ED=\frac{a+b}{2}. \]

Решение

По чертежу \(BC=a\), \(AD=b\), причём \(BC\parallel AD\). Так как \(AB=CD\), трапеция \(ABCD\) равнобедренная.

1. Опустим из точки \(C\) высоту \(CF\) на \(AD\).

Тогда \(BE\perp AD\) и \(CF\perp AD\), значит, \(BE\parallel CF\). Четырёхугольник \(BCFE\) — прямоугольник, потому что его противоположные стороны параллельны, а углы при \(E\) и \(F\) прямые.

По свойству прямоугольника: \[ EF=BC=a,\qquad BE=CF. \]

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\):

• \(AB=CD\) — по условию;
• \(BE=CF\) — как расстояния между параллельными прямыми \(BC\) и \(AD\);
• углы \(E\) и \(F\) прямые.

Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому \[ AE=FD. \]

3. Точка \(E\) лежит между \(A\) и \(D\), а \(F\) — между \(E\) и \(D\), поэтому \[ AD=AE+EF+FD. \] То есть \[ b=AE+a+AE=2AE+a. \] Отсюда \[ AE=\frac{b-a}{2}. \]

4. Тогда \[ ED=EF+FD=a+AE =a+\frac{b-a}{2} =\frac{a+b}{2}. \]

Проверка: \[ AE+ED=\frac{b-a}{2}+\frac{a+b}{2}=b=AD. \]

Всё верно.

Ответ:
\[ CE=10. \]

Решение

1. \(AB=CD\), значит, трапеция \(ABCD\) равнобедренная. По свойству равнобедренной трапеции её диагонали равны: \[ AC=BD. \]

2. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. По условию диагонали перпендикулярны: \[ AC\perp BD, \] поэтому \(\angle AOD=90^\circ\).

Треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны, так как \(AD\parallel BC\). Коэффициент подобия: \[ \frac{AD}{BC}=\frac{15}{5}=3. \] Отсюда \[ AO=3OC,\qquad DO=3OB. \] Но \(AC=BD\), следовательно: \[ AO+OC=DO+OB. \] Тогда \(OC=OB\), а значит \(AO=DO\).

Треугольник \(AOD\) прямоугольный и равнобедренный, поэтому по теореме о сумме углов треугольника: \[ \angle OAD=\angle ADO=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ. \] Так как \(A,O,C\) лежат на одной прямой, \[ \angle CAE=45^\circ. \]

3. Опустим из \(B\) высоту \(BF\) на \(AD\). Прямоугольные треугольники \(ABF\) и \(DCE\) равны по гипотенузе и катету: \[ AB=CD,\qquad BF=CE. \] Значит, \[ AF=ED. \] При этом \(BCEF\) — прямоугольник, поэтому \[ FE=BC=5. \] Следовательно, \[ AD=AF+FE+ED=2ED+5. \] Отсюда \[ 15=2ED+5,\qquad ED=5. \] Тогда \[ AE=AD-ED=15-5=10. \]

4. В прямоугольном треугольнике \(ACE\) угол при вершине \(A\) равен \(45^\circ\), значит второй острый угол тоже \(45^\circ\). Поэтому треугольник \(ACE\) равнобедренный: \[ CE=AE. \]

Следовательно, \[ \boxed{CE=10}. \]

Ответ:
\[ CE=10 \]

Краткое решение

1. По чертежу \(AB=CD\), значит, \(ABCD\) — равнобедренная трапеция.
   По свойству равнобедренной трапеции её диагонали равны: \[ AC=BD. \]

2. Рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(BDA\): \[ AD \text{ — общая, } AB=CD,\quad AC=BD. \] Значит, они равны по трём сторонам. Следовательно, \[ \angle CAD=\angle BDA. \]

3. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. По условию \[ AC\perp BD, \] поэтому в треугольнике \(AOD\): \[ \angle AOD=90^\circ. \] Обозначим \(\angle CAD=\angle BDA=\alpha\). Тогда \[ \alpha+\alpha+90^\circ=180^\circ, \] \[ \alpha=45^\circ. \]

4. Так как \(CE\perp AD\), треугольник \(ACE\) прямоугольный, причём \[ \angle CAE=45^\circ. \] Значит, \(\triangle ACE\) равнобедренный: \[ CE=AE. \]

5. Опустим \(BF\perp AD\). Тогда \(BCEF\) — прямоугольник, поэтому \[ EF=BC=5. \] Прямоугольные треугольники \(ABF\) и \(DCE\) равны по гипотенузе и катету, значит, \[ AF=ED. \] Обозначим \(AF=ED=x\). Тогда \[ x+5+x=15, \] \[ x=5. \] Следовательно, \[ AE=AF+FE=5+5=10. \]

6. Так как \(CE=AE\), получаем: \[ CE=10. \]

Проверка: точка \(E\) делит \(AD\) на части \(AE=10\) и \(ED=5\), что соответствует основаниям \(15\) и \(5\). Всё сходится.

Ответ:
\[ BC=15 \]

Решение

1. В \(\triangle BCD\): \[ \angle BCD=90^\circ,\qquad \angle BDC=45^\circ. \] По теореме о сумме углов треугольника: \[ \angle CBD=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ. \] Значит, \(\triangle BCD\) — равнобедренный, поэтому \[ BC=CD. \]

2. Так как \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\). Но \(CD\perp BC\), следовательно, \[ CD\perp AD, \] то есть \(\angle CDA=90^\circ\).

Тогда \[ \angle ADB=90^\circ-\angle BDC=90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]

3. По рисунку диагональ \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\), поэтому \[ \angle ABD=\angle ABC-\angle CBD=135^\circ-45^\circ=90^\circ. \]

4. В \(\triangle ABD\): \[ \angle ABD=90^\circ,\qquad \angle ADB=45^\circ. \] По теореме о сумме углов: \[ \angle BAD=45^\circ. \] Значит, \(\triangle ABD\) — прямоугольный равнобедренный, и \(AD\) — его гипотенуза: \[ AD=BD\sqrt2. \] Отсюда \[ BD=\frac{AD}{\sqrt2}=\frac{30}{\sqrt2}=15\sqrt2. \]

5. В прямоугольном равнобедренном \(\triangle BCD\): \[ BD=BC\sqrt2. \] Следовательно, \[ BC=\frac{BD}{\sqrt2}=\frac{15\sqrt2}{\sqrt2}=15. \]

\[ \boxed{BC=15} \]

Ответ:
\[ P_{ABCD}=40 \]

Краткое решение

1. По чертежу \(AD\parallel BC\) — основания трапеции \(ABCD\).

2. В точке \(C\): \[ \angle BCE=30^\circ,\qquad \angle ECD=90^\circ. \] Поэтому по свойству сложения углов: \[ \angle BCD=\angle BCE+\angle ECD=30^\circ+90^\circ=120^\circ. \]

3. Так как \(AD\parallel BC\), углы \(\angle BCD\) и \(\angle CDA\) — внутренние односторонние при секущей \(CD\). По свойству параллельных прямых: \[ \angle CDA=180^\circ-\angle BCD=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

4. По чертежу \(\angle BAD=60^\circ\). Значит, \[ \angle BAD=\angle CDA=60^\circ. \] Трапеция с равными углами при основании является равнобедренной, поэтому: \[ AB=CD. \]

5. Разность оснований: \[ AD-BC=15-5=10. \] В равнобедренной трапеции эта разность делится между двумя равными проекциями боковых сторон: \[ AH=DH_1=\frac{10}{2}=5. \]

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\), где \(\angle BAH=60^\circ\), \(AH=5\). Тогда \[ \cos 60^\circ=\frac{AH}{AB}, \] \[ \frac12=\frac{5}{AB}, \] \[ AB=10. \] Следовательно, \[ CD=10. \]

7. Периметр трапеции: \[ P=AB+BC+CD+AD=10+5+10+15=40. \]

\[ \boxed{P=40} \]