решить матричным способом

Краткий ответ: \[ x=2,\qquad y=-1,\qquad z=1. \]

Матричная запись

\[ A=\begin{pmatrix} 1&3&-1\\ 2&2&-1\\ 2&3&3 \end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}. \]

Система имеет вид \(AX=B\). Если \(\det A\neq 0\), то \[ X=A^{-1}B. \]

1. Определитель

\[ \det A= 1(2\cdot3-(-1)\cdot3) -3(2\cdot3-(-1)\cdot2) +(-1)(2\cdot3-2\cdot2) \] \[ =9-24-2=-17. \]

Определитель не равен нулю, значит обратная матрица существует.

2. Обратная матрица

Алгебраические дополнения дают \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} -\frac{9}{17}&\frac{12}{17}&\frac{1}{17}\\[2pt] \frac{8}{17}&-\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\[2pt] -\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}&\frac{4}{17} \end{pmatrix}. \]

3. Умножение на столбец свободных членов

\[ X=A^{-1}B= \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix}. \]

То есть \[ x=2,\quad y=-1,\quad z=1. \]

Проверка: \[ 2+3(-1)-1=-2, \] \[ 2\cdot2+2(-1)-1=1, \] \[ 2\cdot2+3(-1)+3\cdot1=4. \]

Все уравнения выполняются.

Принцип: matrix method — это переход от системы к уравнению \(AX=B\) и умножение слева на \(A^{-1}\). Так можно решать системы с квадратной матрицей и ненулевым определителем.