9.8. Решите неравенство:

Сделаю подробно, с вынесением коэффициентов и «рисунками» — осями знаков. Постоянный множитель, например \(3\), \(-1\) или \(-\frac13\), не приравниваем к нулю: он не даёт точек на оси. Если вынести минус, это может поменять знак неравенства. Все точки на рисунках выколоты, потому что все неравенства строгие.

---

1)

\[ \frac{x}{x+2}<0 \]

Нули: \(x=0\) — числитель, \(x=-2\) — знаменатель, недопустимая точка.

Ось знаков:

\[ + \quad \circ(-2) \quad - \quad \circ(0) \quad + \]

Нужен знак «минус»:

\[ \boxed{x\in(-2;0)} \]

---

2)

\[ \frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0 \]

Вынесем коэффициенты и минус:

\[ 3x-2=3\left(x-\frac23\right),\qquad 4-x=-(x-4). \]

Тогда

\[ \frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} = -3\cdot \frac{\left(x-\frac23\right)(x-4)}{(x+3)(x-1)}. \]

Делим на \(-3<0\), поэтому знак неравенства меняется:

\[ \frac{\left(x-\frac23\right)(x-4)}{(x+3)(x-1)}<0. \]

Ось знаков:

\[ + \quad \circ(-3) \quad - \quad \circ\left(\frac23\right) \quad + \quad \circ(1) \quad - \quad \circ(4) \quad + \]

Нам нужны промежутки со знаком «минус»:

\[ \boxed{x\in\left(-3;\frac23\right)\cup(1;4)} \]

---

3)

\[ \frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0 \]

Вынесем коэффициенты:

\[ 2x+1=2\left(x+\frac12\right), \]

\[ (3-x)^4=(x-3)^4, \]

\[ 1-5x=-5\left(x-\frac15\right). \]

Получаем:

\[ \frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} = -\frac{8}{3125}\cdot \frac{(x-2)\left(x+\frac12\right)^3} {(x-3)^4\left(x-\frac15\right)^5}. \]

Так как перед дробью стоит отрицательное число, неравенство \(>0\) переходит в

\[ \frac{(x-2)\left(x+\frac12\right)^3} {(x-3)^4\left(x-\frac15\right)^5}<0. \]

Ось знаков:

\[ - \quad \circ\left(-\frac12\right) \quad + \quad \circ\left(\frac15\right) \quad - \quad \circ(2) \quad + \quad \circ(3) \quad + \]

В точке \(x=3\) множитель \((x-3)^4\) имеет чётную степень, поэтому знак не меняется. Выбираем «минус»:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right)} \]

---

4)

\[ \frac{x^2-5x+7}{-2x^2+3x+2}>0 \]

Рассмотрим числитель:

\[ x^2-5x+7. \]

Его дискриминант:

\[ D=25-28=-3<0, \]

а коэффициент при \(x^2\) равен \(1>0\), значит

\[ x^2-5x+7>0 \]

при всех \(x\). Поэтому знак дроби совпадает со знаком знаменателя.

Разложим знаменатель:

\[ -2x^2+3x+2=-(2x+1)(x-2). \]

Нужно, чтобы знаменатель был положителен:

\[ -(2x+1)(x-2)>0, \]

то есть

\[ (2x+1)(x-2)<0. \]

Корни: \(-\frac12\) и \(2\). Получаем:

\[ \boxed{x\in\left(-\frac12;2\right)} \]

Ось знаков знаменателя:

\[ - \quad \circ\left(-\frac12\right) \quad + \quad \circ(2) \quad - \]

---

5)

\[ \frac{(x-2)(x^2-1)(4x-5-3x^2)}{x+7}<0 \]

Разложим:

\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]

Проверим множитель \(4x-5-3x^2\):

\[ 4x-5-3x^2=-(3x^2-4x+5). \]

У \(3x^2-4x+5\) дискриминант:

\[ D=16-60=-44<0, \]

и коэффициент \(3>0\), поэтому

\[ 3x^2-4x+5>0, \]

а значит

\[ 4x-5-3x^2<0 \]

при всех \(x\). Постоянный отрицательный множитель не даёт корня, но меняет направление неравенства. Делим на него:

\[ \frac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+7}>0. \]

Ось знаков:

\[ + \quad \circ(-7) \quad - \quad \circ(-1) \quad + \quad \circ(1) \quad - \quad \circ(2) \quad + \]

Выбираем «плюс»:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-7)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty)} \]

---

6)

\[ \frac{(x^3-8)(x^2-6x-7)} {(3x-2x^2-4)(3x^2-10x+3)}<0 \]

Разложим числитель:

\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \]

причём

\[ x^2+2x+4>0 \]

при всех \(x\), так как его дискриминант отрицателен.

Далее:

\[ x^2-6x-7=(x-7)(x+1). \]

Рассмотрим множитель знаменателя \(3x-2x^2-4\). Его дискриминант:

\[ D=9-32=-23<0, \]

а старший коэффициент \(-2<0\), поэтому

\[ 3x-2x^2-4<0 \]

при всех \(x\). Значит, при делении на него знак неравенства меняется.

Ещё:

\[ 3x^2-10x+3=3\left(x-\frac13\right)(x-3). \]

После вынесения отрицательного множителя получаем:

\[ \frac{(x-2)(x-7)(x+1)} {\left(x-\frac13\right)(x-3)}>0. \]

Ось знаков:

\[ - \quad \circ(-1) \quad + \quad \circ\left(\frac13\right) \quad - \quad \circ(2) \quad + \quad \circ(3) \quad - \quad \circ(7) \quad + \]

Выбираем «плюс»:

\[ \boxed{x\in\left(-1;\frac13\right)\cup(2;3)\cup(7;+\infty)} \]

---

7)

\[ \frac{x^2+5x-6}{(x+2)(1-3x)}<0 \]

Разложим числитель:

\[ x^2+5x-6=(x+6)(x-1). \]

В знаменателе:

\[ 1-3x=-3\left(x-\frac13\right). \]

Получаем:

\[ \frac{(x+6)(x-1)}{(x+2)(1-3x)} = -\frac13\cdot \frac{(x+6)(x-1)} {(x+2)\left(x-\frac13\right)}. \]

Так как перед дробью отрицательное число, неравенство меняет знак:

\[ \frac{(x+6)(x-1)} {(x+2)\left(x-\frac13\right)}>0. \]

Ось знаков:

\[ + \quad \circ(-6) \quad - \quad \circ(-2) \quad + \quad \circ\left(\frac13\right) \quad - \quad \circ(1) \quad + \]

Выбираем «плюс»:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-6)\cup\left(-2;\frac13\right)\cup(1;+\infty)} \]

---

8)

\[ \frac{(x^4-3x^2)(x^4+x^3-8x-8)}{(1-x)(x+2)}<0 \]

Разложим первый множитель:

\[ x^4-3x^2=x^2(x^2-3)=x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3). \]

Второй множитель:

\[ x^4+x^3-8x-8=x^3(x+1)-8(x+1)= (x+1)(x^3-8). \]

Далее:

\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \]

причём \(x^2+2x+4>0\). Поэтому

\[ x^4+x^3-8x-8= (x+1)(x-2)(x^2+2x+4). \]

Знаменатель:

\[ (1-x)(x+2)=-(x-1)(x+2). \]

Тогда исходная дробь равна

\[ -\frac{x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x+1)(x-2)} {(x-1)(x+2)}. \]

Перед дробью стоит минус, поэтому неравенство \(<\) переходит в

\[ \frac{x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x+1)(x-2)} {(x-1)(x+2)}>0. \]

Ось знаков:

\[ + \quad \circ(-2) \quad - \quad \circ(-\sqrt3) \quad + \quad \circ(-1) \quad - \quad \circ(0) \quad - \quad \circ(1) \quad + \quad \circ(\sqrt3) \quad - \quad \circ(2) \quad + \]

В точке \(x=0\) множитель \(x^2\) имеет чётную степень, поэтому знак не меняется. Но сама точка \(x=0\) не входит, так как неравенство строгое.

Выбираем «плюс»:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;-1)\cup(1;\sqrt3)\cup(2;+\infty)} \]

Перерешаю подробно, по вашему способу: выношу коэффициенты отдельно, потом проверяю знак пробной точкой и рисую ось.

Общий приём. Скобку \(ax+b\) записываю как \(a(x-x_0)\), где \(x_0=-\frac{b}{a}\). Коэффициент \(a\) выношу в отдельный множитель \(K\). К нулю его не приравниваю — нуль даёт только скобка: \[ ax+b=a(x-x_0)=0 \iff x=x_0. \] Потом беру пробную точку на самом правом промежутке и смотрю знак всего выражения. При переходе через точку нечётной кратности знак меняется, чётной — нет. Все точки выколоты, потому что неравенства строгие.

---

1)
\[ F(x)=\frac{x}{x+2}=\frac{x-0}{x-(-2)}. \] Коэффициент \(K=1>0\). Нули: \(-2\) и \(0\).
Пробная точка \(x=1\): \(F(1)=\frac13>0\), значит, на \((0;+\infty)\) знак \(+\). Чередуем:

    +     -     +
 ---o-----o--> x
   -2     0

Нужно \(F<0\): \[ x\in(-2;0). \]

---

2)
\[ 3x-2=3\left(x-\frac23\right),\qquad 4-x=-(x-4). \] \[ F(x)=\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} =-3\cdot\frac{\left(x-\frac23\right)(x-4)}{(x+3)(x-1)}. \] Здесь \(K=3\cdot(-1)=-3<0\). Минус от \(4-x\) обязателен: если его потерять, все знаки перевернутся.

Точки: \(-3,\ \frac23,\ 1,\ 4\).
Пробная \(x=5\): \[ F(5)=\frac{13\cdot(-1)}{8\cdot4}<0, \] поэтому на \((4;+\infty)\) знак \(-\). Все точки простые, знаки чередуются:

  -   +   -   +   -
 ---o---o---o---o--> x
  -3  2/3  1   4

Нужно \(F>0\): \[ x\in\left(-3;\frac23\right)\cup(1;4). \]

---

3)
\[ F(x)=\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}. \] Выносим коэффициенты: \[ 2x+1=2\left(x+\frac12\right),\qquad (3-x)^4=(x-3)^4, \] \[ 1-5x=-5\left(x-\frac15\right),\qquad (1-5x)^5=-3125\left(x-\frac15\right)^5. \] Тогда \[ F(x)=-\frac{8}{3125}\cdot \frac{(x-2)\left(x+\frac12\right)^3} {(x-3)^4\left(x-\frac15\right)^5}. \] Коэффициент \(K=-\frac{8}{3125}<0\).

Точки: \(-\frac12\) (кратность \(3\)), \(\frac15\) (кратность \(5\)), \(2\) (кратность \(1\)), \(3\) (кратность \(4\)).
Пробная \(x=4\): числитель положителен, знаменатель \((1)^4(-19)^5<0\), поэтому \(F(4)<0\). Значит, на \((3;+\infty)\) знак \(-\). В точке \(3\) кратность чётная — знак не меняется; через остальные точки знак меняется:

  +   -   +   -   -
 ---o---o---o---o--> x
 -1/2 1/5  2   3

Нужно \(F>0\): \[ x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right). \]

---

4)
Числитель всегда положителен: \[ x^2-5x+7>0, \] так как \(D=25-28=-3<0\), а старший коэффициент \(1>0\).

Разложим знаменатель: \[ -2x^2+3x+2=-2(x-2)\left(x+\frac12\right). \] Поэтому \[ F(x)=-\frac12\cdot \frac{x^2-5x+7}{(x-2)\left(x+\frac12\right)}. \] Числитель всегда положителен, \(K=-\frac12<0\). Значит, \(F>0\) там, где \[ \left(x-2\right)\left(x+\frac12\right)<0, \] то есть между корнями \(-\frac12\) и \(2\). Пробная точка \(x=0\): \(F(0)=\frac72>0\).

    -     +     -
 ---o-----o--> x
  -1/2    2

Ответ: \[ x\in\left(-\frac12;2\right). \]

---

5)
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \] \[ 4x-5-3x^2=-3\left(x^2-\frac43x+\frac53\right). \] Квадратный трёхчлен в скобках всегда положителен: его дискриминант отрицателен. Поэтому \[ F(x)=-3\cdot \frac{(x-2)(x-1)(x+1)\left(x^2-\frac43x+\frac53\right)}{x+7}. \] Коэффициент \(K=-3<0\), положительный множитель в скобках на знак не влияет.

Точки: \(-7,\ -1,\ 1,\ 2\).
Пробная \(x=3\): \(F(3)<0\), значит, на \((2;+\infty)\) знак \(-\). Все точки простые:

  -   +   -   +   -
 ---o---o---o---o--> x
  -7  -1   1   2

Нужно \(F<0\): \[ x\in(-\infty;-7)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty). \]

---

6)
\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),\qquad x^2+2x+4>0; \] \[ x^2-6x-7=(x-7)(x+1); \] \[ 3x-2x^2-4=-2\left(x^2-\frac32x+2\right), \] причём \(x^2-\frac32x+2>0\); \[ 3x^2-10x+3=3(x-3)\left(x-\frac13\right). \] Тогда \[ F(x)=-\frac16\cdot \frac{(x-2)(x-7)(x+1)\left(x^2+2x+4\right)} {(x-3)\left(x-\frac13\right)\left(x^2-\frac32x+2\right)}. \] Положительные квадратичные множители на знак не влияют. \(K=-\frac16<0\).

Точки: \(-1,\ \frac13,\ 2,\ 3,\ 7\).
Пробная \(x=8\): \(F(8)<0\), поэтому на \((7;+\infty)\) знак \(-\). Все точки простые:

  +   -   +   -   +   -
 ---o---o---o---o---o--> x
  -1 1/3  2   3   7

Нужно \(F<0\): \[ x\in\left(-1;\frac13\right)\cup(2;3)\cup(7;+\infty). \]

---

7)
\[ x^2+5x-6=(x+6)(x-1), \] \[ 1-3x=-3\left(x-\frac13\right). \] \[ F(x)=-\frac13\cdot \frac{(x+6)(x-1)}{(x+2)\left(x-\frac13\right)}. \] Коэффициент \(K=-\frac13<0\).

Точки: \(-6,\ -2,\ \frac13,\ 1\).
Пробная \(x=2\): \[ F(2)=\frac{8\cdot1}{4\cdot(-5)}<0, \] поэтому на \((1;+\infty)\) знак \(-\). Все точки простые:

  -   +   -   +   -
 ---o---o---o---o--> x
  -6  -2 1/3  1

Нужно \(F<0\): \[ x\in(-\infty;-6)\cup\left(-2;\frac13\right)\cup(1;+\infty). \]

---

8)
\[ x^4-3x^2=x^2(x^2-3)=x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3); \] \[ x^4+x^3-8x-8=(x+1)(x^3-8)=(x+1)(x-2)(x^2+2x+4), \] где \(x^2+2x+4>0\); \[ 1-x=-(x-1). \] Тогда \[ F(x)=-\frac{x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x+1)(x-2)(x^2+2x+4)} {(x-1)(x+2)}. \] Коэффициент \(K=-1<0\).

Точки: \(-2,\ -\sqrt3,\ -1,\ 0,\ 1,\ \sqrt3,\ 2\).
В точке \(0\) множитель \(x^2\), кратность чётная, поэтому знак при переходе через \(0\) не меняется. Остальные точки простые.
Пробная \(x=3\): \(F(3)<0\), значит, на \((2;+\infty)\) знак \(-\).

 -   +   -   +   +   -   +   -
 ---o---o---o---o---o---o---o--> x
   -2 -√3  -1   0   1  √3   2

Нужно \(F<0\): \[ x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;-1)\cup(1;\sqrt3)\cup(2;+\infty). \]

Ниже — подробное решение всех восьми пунктов. Пользуюсь одним правилом: каждую скобку \(ax+b\) записываю как \(a(x-x_0)\), где \(x_0=-\frac ba\). Числовой коэффициент \(a\) выношу отдельно и к нулю не приравниваю — нуль даёт только сама скобка. Потом беру пробную точку и расставляю знаки. Все точки выколоты, потому что неравенства строгие.

---

1) \(\dfrac{x}{x+2}<0\)

\[ \frac{x}{x+2}=\frac{x-0}{x-(-2)}. \]

Коэффициент здесь равен \(1>0\). Нули: \(-2\) и \(0\).

Пробная точка \(x=1\): \[ \frac{1}{3}>0. \] Значит, справа от \(0\) знак «плюс», дальше чередуем:

\[ +\quad \circ(-2)\quad -\quad \circ(0)\quad + \]

Нужен минус: \[ \boxed{x\in(-2;0)} \]

---

2) \(\dfrac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0\)

Выносим коэффициенты: \[ 3x-2=3\left(x-\frac23\right),\qquad 4-x=-(x-4). \]

Получаем: \[ F(x)=-3\cdot \frac{\left(x-\frac23\right)(x-4)}{(x+3)(x-1)}. \]

Постоянный множитель \(-3<0\), он не даёт корня, но влияет на знак.

Нули: \(-3;\ \frac23;\ 1;\ 4\).

Пробная точка \(x=5\): \[ F(5)=\frac{13\cdot(-1)}{8\cdot4}<0. \] Значит, на \((4;+\infty)\) знак «минус». Все точки простые, поэтому знаки чередуются:

\[ -\quad \circ(-3)\quad +\quad \circ\left(\frac23\right)\quad -\quad \circ(1)\quad +\quad \circ(4)\quad - \]

Нужен плюс: \[ \boxed{x\in\left(-3;\frac23\right)\cup(1;4)} \]

---

3) \(\dfrac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0\)

Выносим коэффициенты: \[ 2x+1=2\left(x+\frac12\right), \] \[ (3-x)^4=(x-3)^4, \] \[ 1-5x=-5\left(x-\frac15\right). \]

Тогда \[ F(x)=-\frac{8}{3125}\cdot \frac{(x-2)\left(x+\frac12\right)^3} {(x-3)^4\left(x-\frac15\right)^5}. \]

Множитель \((x-3)^4>0\) при всех \(x\ne3\), поэтому на знак он не влияет. Нули: \(-\frac12;\ \frac15;\ 2\). Точка \(3\) в область определения не входит.

Пробная точка \(x=4\): числитель \((2)(9)^3>0\), знаменатель \((1)(-19)^5<0\), поэтому \(F(4)<0\).

Значит, на \((2;+\infty)\) знак «минус». Остальные точки простые:

\[ +\quad \circ\left(-\frac12\right)\quad -\quad \circ\left(\frac15\right)\quad +\quad \circ(2)\quad - \]

Нужен плюс: \[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right)} \]

---

4) \(\dfrac{x^2-5x+7}{-2x^2+3x+2}>0\)

Числитель: \[ x^2-5x+7. \] Его дискриминант: \[ D=25-28=-3<0, \] а коэффициент при \(x^2\) равен \(1>0\). Поэтому \[ x^2-5x+7>0 \] при всех \(x\).

Разложим знаменатель: \[ -2x^2+3x+2=-2(x-2)\left(x+\frac12\right). \]

Постоянный множитель \(-2<0\), нули знаменателя: \(-\frac12\) и \(2\). Числитель всегда положителен, значит, знак дроби совпадает со знаком выражения \[ -2(x-2)\left(x+\frac12\right). \]

Пробная точка \(x=0\): \[ F(0)=\frac72>0. \]

\[ -\quad \circ\left(-\frac12\right)\quad +\quad \circ(2)\quad - \]

Нужен плюс: \[ \boxed{x\in\left(-\frac12;2\right)} \]

---

5) \(\dfrac{(x-2)(x^2-1)(4x-5-3x^2)}{x+7}<0\)

Раскладываем: \[ x^2-1=(x-1)(x+1), \] \[ 4x-5-3x^2=-3\left(x^2-\frac43x+\frac53\right). \]

У квадратного трёхчлена в скобках дискриминант: \[ D=\frac{16}{9}-\frac{20}{3}<0, \] поэтому он всегда положителен. Значит, множитель \(4x-5-3x^2\) всегда отрицателен и даёт только постоянный коэффициент \(-3\).

Нули: \(-7;\ -1;\ 1;\ 2\).

Пробная точка \(x=3\): \[ F(3)=\frac{(1)(8)(-20)}{10}<0. \] Значит, на \((2;+\infty)\) знак «минус».

\[ -\quad \circ(-7)\quad +\quad \circ(-1)\quad -\quad \circ(1)\quad +\quad \circ(2)\quad - \]

Нужен минус: \[ \boxed{x\in(-\infty;-7)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty)} \]

---

6) \(\dfrac{(x^3-8)(x^2-6x-7)}{(3x-2x^2-4)(3x^2-10x+3)}<0\)

Раскладываем: \[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \] причём \(x^2+2x+4>0\), так как его дискриминант отрицателен.

\[ x^2-6x-7=(x-7)(x+1). \]

Далее: \[ 3x-2x^2-4=-2\left(x^2-\frac32x+2\right). \] Квадратный трёхчлен в скобках всегда положителен, поэтому этот множитель всегда отрицателен и даёт коэффициент \(-2\).

\[ 3x^2-10x+3=3\left(x-\frac13\right)(x-3). \]

Получаем: \[ F(x)=-6\cdot \frac{(x-2)(x-7)(x+1)} {\left(x-\frac13\right)(x-3)}. \]

Нули: \(-1;\ \frac13;\ 2;\ 3;\ 7\).

Пробная точка \(x=8\): числитель положителен, знаменатель положителен, коэффициент \(-6<0\), поэтому \[ F(8)<0. \] Значит, на \((7;+\infty)\) знак «минус».

\[ +\quad \circ(-1)\quad -\quad \circ\left(\frac13\right)\quad +\quad \circ(2)\quad -\quad \circ(3)\quad +\quad \circ(7)\quad - \]

Нужен минус: \[ \boxed{x\in\left(-1;\frac13\right)\cup(2;3)\cup(7;+\infty)} \]

---

7) \(\dfrac{x^2+5x-6}{(x+2)(1-3x)}<0\)

Раскладываем: \[ x^2+5x-6=(x+6)(x-1), \] \[ 1-3x=-3\left(x-\frac13\right). \]

Получаем: \[ F(x)=-\frac13\cdot \frac{(x+6)(x-1)} {(x+2)\left(x-\frac13\right)}. \]

Нули: \(-6;\ -2;\ \frac13;\ 1\).

Пробная точка \(x=2\): \[ F(2)=\frac{8\cdot1}{4\cdot(-5)}<0. \] Значит, на \((1;+\infty)\) знак «минус».

\[ -\quad \circ(-6)\quad +\quad \circ(-2)\quad -\quad \circ\left(\frac13\right)\quad +\quad \circ(1)\quad - \]

Нужен минус: \[ \boxed{x\in(-\infty;-6)\cup\left(-2;\frac13\right)\cup(1;+\infty)} \]

---

8) \(\dfrac{(x^4-3x^2)(x^4+x^3-8x-8)}{(1-x)(x+2)}<0\)

Раскладываем: \[ x^4-3x^2=x^2(x^2-3)=x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3). \]

Далее: \[ x^4+x^3-8x-8=x^3(x+1)-8(x+1)= (x+1)(x^3-8), \] \[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \] где \(x^2+2x+4>0\).

Знаменатель: \[ 1-x=-(x-1). \]

Получаем: \[ F(x)=-\frac{x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x+1)(x-2)} {(x-1)(x+2)}. \]

Нули: \(-2;\ -\sqrt3;\ -1;\ 0;\ 1;\ \sqrt3;\ 2\).

В точке \(0\) множитель \(x^2\) имеет чётную кратность, поэтому знак при переходе через \(0\) не меняется. Сама точка \(0\) выколота.

Пробная точка \(x=3\): коэффициент перед дробью равен \(-1<0\), а дробь положительна, поэтому \[ F(3)<0. \] Значит, на \((2;+\infty)\) знак «минус».

\[ -\quad \circ(-2)\quad +\quad \circ(-\sqrt3)\quad -\quad \circ(-1)\quad +\quad \circ(0)\quad +\quad \circ(1)\quad -\quad \circ(\sqrt3)\quad +\quad \circ(2)\quad - \]

Нужен минус: \[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;-1)\cup(1;\sqrt3)\cup(2;+\infty)} \]