Дан △ABC (рис. 4), AM = MB = 6 см, ∠MEB = ∠AKM = ∠C, MK = 7 см, KC = 5 см. Найдите периметр △ABC.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Домашняя работа
[Рисунок: треугольник ABC: B сверху слева, A снизу слева, C справа. M лежит на AB, E — на BC, K — на AC. Штриховыми линиями соединены M с E, E с K и M с K. На рисунке отмечены длины 6, 6, 5 и 7; отмечены углы ∠MEB, ∠AKM и ∠C.]
Рис. 4
Дан △ABC (рис. 4), AM = MB = 6 см, ∠MEB = ∠AKM = ∠C, MK = 7 см, KC = 5 см. Найдите периметр △ABC.
Ответ: \(36\) см.
Решение по шагам
\(AM=MB=6\), значит, \(M\) — середина \(AB\), а \[ AB=6+6=12\text{ см}. \]
По рисунку \(K\) лежит на \(AC\). Равенство \[ \angle AKM=\angle C \] означает равенство соответственных углов при секущей \(AC\), поэтому \[ MK\parallel BC. \]
Прямая через середину стороны \(AB\), параллельная стороне \(BC\), проходит через середину \(AC\). Значит, \(K\) — середина \(AC\): \[ AK=KC=5\text{ см},\qquad AC=5+5=10\text{ см}. \]
\(MK\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(AC\), то есть является средней линией треугольника \(ABC\). Поэтому \[ MK=\frac{BC}{2}. \] Отсюда \[ BC=2\cdot MK=2\cdot 7=14\text{ см}. \]
Периметр: \[ P_{ABC}=AB+BC+AC=12+14+10=36\text{ см}. \]
Проверка: коэффициенты подобия треугольников \(AMK\) и \(ABC\) одинаковы: \[ \frac{AM}{AB}=\frac{6}{12}=\frac12,\qquad \frac{AK}{AC}=\frac{5}{10}=\frac12,\qquad \frac{MK}{BC}=\frac{7}{14}=\frac12. \]
Равенство \(\angle MEB=\angle C\) аналогично даёт \(ME\parallel AC\), то есть \(E\) — середина \(BC\); для периметра это не понадобилось, но подтверждает рисунок.
