Дана выборка из 10 наблюдений: 30, 24, 8, 21, 35, 23, 23, 19, 13, 17. Найдите нижний (первый) квартиль.

Ответ для шага 1. Вписывай числа по возрастанию, слева направо:

То есть в первой строке (8 клеток): 8, 13, 17, 19, 21, 23, 23, 24, во второй строке: 30, 35.

Обрати внимание: число 23 в выборке встречается дважды, поэтому две клетки подряд заполняются числом 23 — это не опечатка.

Что дальше: на следующих шагах ищем медиану и квартиль. Медиана \(= \dfrac{21+23}{2}=22\), нижняя половина — \(8, 13, 17, 19, 21\), её середина и есть нижний квартиль: \[ Q_1 = 17. \]

Итоговый ответ: 17.

Задача 4

Сначала упорядочим баллы каждого корабля по возрастанию.

Корабль А: \(65, 68, 69, 72, 74, 75, 78, 80, 81, 82\).

При \(n=10\) медиана — среднее 5-го и 6-го чисел: \[ \frac{74+75}{2}=74{,}5. \] Делим ряд на две половины по 5 чисел.

• Нижняя половина: \(65, 68, 69, 72, 74\), её середина — \(Q_1=69\).
• Верхняя половина: \(75, 78, 80, 81, 82\), её середина — \(Q_3=80\).
• Межквартильный размах: \(80-69=11\).

Корабль Б: \(58, 62, 64, 67, 71, 73, 76, 79, 83, 85\).

Медиана: \[ \frac{71+73}{2}=72. \]

• \(Q_1=64\) (середина нижней половины \(58, 62, 64, 67, 71\));
• \(Q_3=79\) (середина верхней половины \(73, 76, 79, 83, 85\));
• Межквартильный размах: \(79-64=15\).

Сравнение. У корабля А межквартильный размах меньше: \(11<15\). Кроме того, общий размах у А равен \(82-65=17\), а у Б — \(85-58=27\). Значит, баллы корабля А лежат более кучно, то есть он показал более стабильные результаты. Причина: у него меньше разброс баллов — и общий, и внутри средней половины результатов.

Задача 5

Речь о четырёх судах с указанными расходами. Средний расход находим как среднее арифметическое: \[ \frac{0{,}5+0{,}8+1{,}0+0{,}4}{4} =\frac{2{,}7}{4} =0{,}675. \] Округляем до сотых: третья цифра после запятой — 5, поэтому округляем вверх: \[ 0{,}675 \approx 0{,}68 \text{ л/км}. \]

Ответ: \(0{,}68\) л/км.

Ты имеешь в виду межквартильный размах (часто сокращают IQR). Это разница между верхним и нижним квартилями:

\[ IQR=Q_3-Q_1 \]

Квартили делят упорядоченный ряд данных на четыре примерно равные части:

• \(Q_1\) — нижний квартиль: ниже него находится примерно четверть данных;
• \(Q_2\) — медиана: середина ряда;
• \(Q_3\) — верхний квартиль: ниже него находится примерно три четверти данных.

Значит, между \(Q_1\) и \(Q_3\) лежит средняя половина всех данных. Межквартильный размах показывает, насколько сильно разбросана именно эта средняя половина. Крайние, самые большие и самые маленькие значения на него почти не влияют.

В твоей задаче:

• у корабля А: \(Q_1=69,\ Q_3=80\), поэтому \(IQR=80-69=11\);
• у корабля Б: \(Q_1=64,\ Q_3=79\), поэтому \(IQR=79-64=15\).

У корабля А размах меньше, значит, его результаты теснее группируются около середины — он выступил стабильнее.

Не путай межквартильный размах с обычным размахом \(x_{\max}-x_{\min}\): обычный учитывает самые крайние баллы, а межквартильный — только среднюю половину данных.

Ответы: задача 4 — у А: \(Q_1=69\), \(Q_2=74{,}5\), \(Q_3=80\); у Б: \(Q_1=64\), \(Q_2=72\), \(Q_3=79\). Стабильнее корабль А. Задача 5 — \(0{,}68\) л/км.

Задача 4

Сначала упорядочим баллы каждого корабля по возрастанию.

Корабль А: \(65,\ 68,\ 69,\ 72,\ 74,\ 75,\ 78,\ 80,\ 81,\ 82\).

Здесь \(n=10\), поэтому медиана — среднее 5-го и 6-го чисел: \[ Q_2=\frac{74+75}{2}=74{,}5. \]

Медиана делит ряд на две половины по 5 чисел:

• нижняя: \(65,\ 68,\ 69,\ 72,\ 74\) → её середина \(Q_1=69\);
• верхняя: \(75,\ 78,\ 80,\ 81,\ 82\) → её середина \(Q_3=80\).

Корабль Б: \(58,\ 62,\ 64,\ 67,\ 71,\ 73,\ 76,\ 79,\ 83,\ 85\).

\[ Q_2=\frac{71+73}{2}=72. \]

• нижняя половина \(58,\ 62,\ 64,\ 67,\ 71\) → \(Q_1=64\);
• верхняя половина \(73,\ 76,\ 79,\ 83,\ 85\) → \(Q_3=79\).

Сравнение по квартилям. У корабля А расстояния между квартилями меньше: \[ Q_3-Q_1=80-69=11 \quad \text{против} \quad 79-64=15 \text{ у Б}. \] То есть средняя половина результатов у А уложилась в 11 баллов, а у Б — в 15. Медиана у А тоже чуть выше (\(74{,}5>72\)). Общий размах: у А \(82-65=17\), у Б \(85-58=27\).

Вывод: более стабильные результаты показал корабль А: его баллы теснее группируются около середины, межквартильный размах меньше, значит, результаты менее «разбросаны».

Задача 5

Средний расход — это среднее арифметическое четырёх значений: \[ \frac{0{,}5+0{,}8+1{,}0+0{,}4}{4}=\frac{2{,}7}{4}=0{,}675. \]

Округляем до сотых: третья цифра после запятой — 5, поэтому округляем вверх: \[ 0{,}675\approx 0{,}68. \]

Ответ: \(0{,}68\) л/км.