1. Решите уравнение: x³ = x² − 7x + 7
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Решите уравнение: \(x^{3}=x^{2}-7x+7\)
Решите уравнение \(4x^{2}-4x-44=(x+1)^{2}\).
Решите уравнение \((x-4)^{4}-4(x-4)^{2}-21=0\).
Решите уравнение \((x^{2}-9)^{2}+(x^{2}+x-6)^{2}=0\).
Решите уравнение \(\frac{1}{(x-3)^{2}}-\frac{3}{x-3}-4=0\).
Решите уравнение \((x+9)^{2}=(x+6)^{2}\).
Найдите корень уравнения \(2x^{2}-x-1=x^{2}-5x-(-1-x^{2})\)
Решите уравнение \((x-4)^{2}+(x+9)^{2}=2x^{2}\).
Решите уравнение \(\frac{5}{4}x^{2}+7x+9=0\) Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решите уравнение \(-3x^{2}+2x+6=-x^{2}+3x-(-3+2x^{2})\).
Все корни ниже — действительные.
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(x=1\) |
| 2 | \(x=-3;\ 5\) |
| 3 | \(x=4-\sqrt7;\ 4+\sqrt7\) |
| 4 | \(x=-3\) |
| 5 | \(x=2;\ \frac{13}{4}\) |
| 6 | \(x=-\frac{15}{2}\) |
| 7 | \(x=\frac12\) |
| 8 | \(x=-\frac{97}{10}\) |
| 9 | \(x=-\frac{18}{5};\ -2\) |
| 10 | \(x=3\) |
Как получены ответы
Переносим всё влево и группируем: \[ x^3-x^2+7x-7=x^2(x-1)+7(x-1)=(x-1)(x^2+7)=0. \] Так как \(x^2+7>0\), остаётся \(x=1\).
Раскрываем квадрат: \[ 4x^2-4x-44=x^2+2x+1, \] \[ 3x^2-6x-45=0 \quad\Rightarrow\quad x^2-2x-15=0. \] Отсюда \((x-5)(x+3)=0\), то есть \(x=5\) или \(x=-3\).
Замена \(t=(x-4)^2\ge0\): \[ t^2-4t-21=0 \quad\Rightarrow\quad t=7 \text{ или } t=-3. \] Корень \(t=-3\) не подходит. Значит, \[ (x-4)^2=7 \quad\Rightarrow\quad x=4\pm\sqrt7. \]
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: \[ x^2-9=0,\qquad x^2+x-6=0. \] Корни первого: \(x=\pm3\), второго: \(x=2\) или \(x=-3\). Общий корень — \(x=-3\).
ОДЗ: \(x\ne3\). Обозначим \(y=\frac1{x-3}\). Тогда \[ y^2-3y-4=0 \quad\Rightarrow\quad y=4 \text{ или } y=-1. \] Далее: \[ \frac1{x-3}=4 \Rightarrow x=\frac{13}{4}, \qquad \frac1{x-3}=-1 \Rightarrow x=2. \]
Используем \(a^2=b^2\Rightarrow a=\pm b\): \[ x+9=-(x+6) \quad\Rightarrow\quad 2x=-15 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{15}{2}. \] Случай \(x+9=x+6\) невозможен.
Упрощаем правую часть: \[ x^2-5x-(-1-x^2)=x^2-5x+1+x^2=2x^2-5x+1. \] Уравнение: \[ 2x^2-x-1=2x^2-5x+1 \quad\Rightarrow\quad 4x=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac12. \]
Раскрываем скобки: \[ (x-4)^2+(x+9)^2=2x^2+10x+97. \] Значит, \[ 2x^2+10x+97=2x^2 \quad\Rightarrow\quad 10x=-97 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{97}{10}. \]
Умножим на \(4\): \[ 5x^2+28x+36=0. \] \[ D=28^2-4\cdot5\cdot36=64. \] \[ x=\frac{-28\pm8}{10}=-2;\ -\frac{18}{5}. \] В порядке возрастания: \(-\frac{18}{5}\) и \(-2\), то есть \(-3{,}6\) и \(-2\).
В формате ответа без пробелов: \(-3{,}6-2\).Упрощаем правую часть: \[ -x^2+3x-(-3+2x^2)=-3x^2+3x+3. \] Получаем: \[ -3x^2+2x+6=-3x^2+3x+3, \] \[ 2x+6=3x+3 \quad\Rightarrow\quad x=3. \]
Проверка подстановкой проходит; в №5 оба найденных значения не равны \(3\), поэтому допустимы.
