1. Решите уравнение: x³ = x² − 7x + 7

Краткие ответы (только действительные корни):

Ключевые шаги

1. \(x^3=x^2-7x+7\)

Переносим всё влево: \[ x^3-x^2+7x-7=0 \] Группируем: \[ x^2(x-1)+7(x-1)=(x-1)(x^2+7)=0 \] Так как \(x^2+7>0\), остаётся \(x=1\).

2. \(4x^2-4x-44=(x+1)^2\)

Раскрываем квадрат и переносим: \[ 4x^2-4x-44=x^2+2x+1 \] \[ 3x^2-6x-45=0 \] Делим на 3: \[ x^2-2x-15=0 \] Корни: \(-3\) и \(5\).

3. \((x-4)^4-4(x-4)^2-21=0\)

Замена \(t=(x-4)^2\), причём \(t\ge0\): \[ t^2-4t-21=0 \] Корни \(t=7\) и \(t=-3\). Второй не подходит, значит: \[ (x-4)^2=7 \] \[ x=4\pm\sqrt7 \]

4. \((x^2-9)^2+(x^2+x-6)^2=0\)

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю: \[ x^2-9=0,\qquad x^2+x-6=0 \] Корни первого: \(\pm3\), второго: \(-3;2\). Общий корень: \(-3\).

5. \(\frac{1}{(x-3)^2}-\frac{3}{x-3}-4=0\)

ОДЗ: \(x\ne3\). Замена \(t=\frac1{x-3}\): \[ t^2-3t-4=0 \] \[ t=4 \quad\text{или}\quad t=-1 \] Отсюда: \[ \frac1{x-3}=4 \Rightarrow x=\frac{13}{4} \] \[ \frac1{x-3}=-1 \Rightarrow x=2 \] Оба корня входят в ОДЗ.

6. \((x+9)^2=(x+6)^2\)

Разность квадратов: \[ (x+9-x-6)(x+9+x+6)=0 \] \[ 3(2x+15)=0 \] \[ x=-\frac{15}{2} \]

7. \(2x^2-x-1=x^2-5x-(-1-x^2)\)

Упрощаем правую часть: \[ x^2-5x+1+x^2=2x^2-5x+1 \] Получаем: \[ 2x^2-x-1=2x^2-5x+1 \] \[ 4x=2 \] \[ x=\frac12 \]

8. \((x-4)^2+(x+9)^2=2x^2\)

Раскрываем скобки: \[ x^2-8x+16+x^2+18x+81=2x^2 \] \[ 2x^2+10x+97=2x^2 \] \[ 10x=-97 \] \[ x=-\frac{97}{10} \]

9. \(\frac54x^2+7x+9=0\)

Умножим на 4: \[ 5x^2+28x+36=0 \] \[ D=28^2-4\cdot5\cdot36=64 \] \[ x=\frac{-28\pm8}{10} \] Корни: \[ x=-\frac{18}{5}=-3{,}6,\qquad x=-2 \] В порядке возрастания: \(-3{,}6;-2\).

10. \(-3x^2+2x+6=-x^2+3x-(-3+2x^2)\)

Упрощаем правую часть: \[ -x^2+3x+3-2x^2=-3x^2+3x+3 \] Тогда: \[ -3x^2+2x+6=-3x^2+3x+3 \] \[ 2x+6=3x+3 \] \[ x=3 \]

Общий принцип: сначала упрощаем уравнение, затем используем подходящий приём — группировку, замену переменной, формулу разности квадратов или дискриминант. В дробных уравнениях обязательно проверяем ОДЗ.