1. Решите уравнение: x³ = x² − 7x + 7
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите уравнение: \(x^3=x^2-7x+7\)
- Решите уравнение \(4x^2-4x-44=(x+1)^2\).
- Решите уравнение \((x-4)^4-4(x-4)^2-21=0\).
- Решите уравнение \((x^2-9)^2+(x^2+x-6)^2=0\).
- Решите уравнение \(\frac{1}{(x-3)^2}-\frac{3}{x-3}-4=0\).
- Решите уравнение \((x+9)^2=(x+6)^2\).
- Найдите корень уравнения \(2x^2-x-1=x^2-5x-(-1-x^2)\)
- Решите уравнение \((x-4)^2+(x+9)^2=2x^2\).
- Решите уравнение \(\frac{5}{4}x^2+7x+9=0\) Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
- Решите уравнение \(-3x^2+2x+6=-x^2+3x-(-3+2x^2)\).
Ниже — все 10 пунктов. В таблице краткие ответы, затем — ключевые шаги.
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(1\) |
| 2 | \(-3;\ 5\) |
| 3 | \(4-\sqrt{7};\ 4+\sqrt{7}\) |
| 4 | \(-3\) |
| 5 | \(2;\ \frac{13}{4}\) |
| 6 | \(-\frac{15}{2}\) |
| 7 | \(\frac{1}{2}\) |
| 8 | \(-\frac{97}{10}\) |
| 9 | \(-\frac{18}{5};\ -2\) |
| 10 | \(3\) |
Как решаются эти задания
Переносим всё влево и группируем: \[ x^3-x^2+7x-7=x^2(x-1)+7(x-1)=(x-1)(x^2+7)=0. \] У \(x^2+7=0\) действительных корней нет, поэтому \(x=1\).
Раскрываем квадрат: \[ 4x^2-4x-44=x^2+2x+1. \] Получаем \(3x^2-6x-45=0\), или \[ x^2-2x-15=0=(x-5)(x+3). \] Корни: \(-3\) и \(5\).
Замена \(t=(x-4)^2\), причём \(t\ge 0\): \[ t^2-4t-21=0,\qquad t=7\ \text{или}\ t=-3. \] \(t=-3\) не подходит. Тогда \((x-4)^2=7\), откуда \(x=4\pm\sqrt7\).
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда оба выражения равны нулю: \[ x^2-9=0,\qquad x^2+x-6=0. \] Из первого \(x=\pm3\), из второго \(x=2\) или \(x=-3\). Общий корень — \(-3\).
ОДЗ: \(x\ne3\). Замена \(u=\frac{1}{x-3}\): \[ u^2-3u-4=0,\qquad u=4\ \text{или}\ u=-1. \] Отсюда \(\frac{1}{x-3}=4\) даёт \(x=\frac{13}{4}\), а \(\frac{1}{x-3}=-1\) даёт \(x=2\).
Применяем разность квадратов: \[ (x+9)^2-(x+6)^2=0, \] \[ ((x+9)-(x+6))((x+9)+(x+6))=3(2x+15)=0. \] Значит, \(x=-\frac{15}{2}\).
Упрощаем правую часть: \[ x^2-5x-(-1-x^2)=2x^2-5x+1. \] После сокращения \(2x^2\): \[ -x-1=-5x+1 \quad\Rightarrow\quad 4x=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac12. \]
Раскрываем скобки: \[ 2x^2+10x+97=2x^2. \] Следовательно, \(10x=-97\), то есть \(x=-\frac{97}{10}\).
Умножаем на \(4\): \[ 5x^2+28x+36=0. \] Дискриминант \(D=28^2-4\cdot5\cdot36=64\). Корни: \[ x=\frac{-28\pm8}{10}, \] то есть \(x=-\frac{18}{5}\) и \(x=-2\). В порядке возрастания: \(-\frac{18}{5};\,-2\). В формате «без пробелов»: \(-3{,}6-2\).
Упрощаем правую часть: \[ -x^2+3x-(-3+2x^2)=-3x^2+3x+3. \] После сокращения \(-3x^2\): \[ 2x+6=3x+3,\qquad x=3. \]
Проверил подстановкой: найденные корни подходят, в № 5 знаменатель не обращается в нуль.
