1. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC = 5√6. Найдите AC.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Тема «Теорема синусов. Расширенная теорема синусов» Вариант 1
В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC = \(5\sqrt{6}\). Найдите AC. [Рисунок: треугольник ABC, вершина B вверху, A и C в основании.]
В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC = \(3\sqrt{2}\). Найдите AC. [Рисунок: треугольник ABC, вершина B вверху, A и C в основании.]
В треугольнике ABC угол A равен 120°, угол B равен 30°, AC = \(5\sqrt{3}\). Найдите BC. [Рисунок: треугольник ABC, вершина B вверху, A слева внизу, C справа внизу.]
Используя данные рисунка найдите наибольшую сторону треугольника. [Рисунок: треугольник ABC; угол B отмечен \(30^\circ\), угол C отмечен \(15^\circ\), сторона AC подписана \(8\sqrt{2}\).]
В треугольнике ABC угол C равен 30°, радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 11. Найдите сторону AB. [Рисунок: окружность, в неё вписан треугольник ABC.]
В треугольнике ABC углы A и B равны 21° и 24° соответственно. Найдите сторону AB, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен \(8\sqrt{2}\).
Краткие ответы:
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(AC=10\) |
| 2 | \(AC=3\) |
| 3 | \(BC=15\) |
| 4 | наибольшая сторона \(BC=16\) |
| 5 | \(AB=11\) |
| 6 | \(AB=16\) |
Главное правило. В треугольнике против стороны \(BC\) лежит угол \(A\), против \(AC\) — угол \(B\), против \(AB\) — угол \(C\). Поэтому \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R, \] где \(R\) — радиус описанной окружности.
1. Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\), а \(BC\) — против угла \(A\): \[ \frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{BC}{\sin60^\circ}. \] Тогда \[ AC=\frac{5\sqrt6\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=10. \]
2. Аналогично: \[ AC=\frac{3\sqrt2\cdot \sin30^\circ}{\sin45^\circ} =\frac{3\sqrt2\cdot \frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=3. \]
3. Здесь \(AC\) лежит против угла \(B=30^\circ\), а \(BC\) — против \(A=120^\circ\): \[ \frac{BC}{\sin120^\circ}=\frac{AC}{\sin30^\circ}. \] \[ BC=\frac{5\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=15. \]
4. На рисунке \(\angle B=30^\circ\), \(\angle C=15^\circ\). Значит, \[ \angle A=180^\circ-30^\circ-15^\circ=135^\circ. \] Самый большой угол — \(A\), поэтому самая большая сторона — \(BC\), лежащая против него. По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin135^\circ}=\frac{AC}{\sin30^\circ}, \] \[ BC=\frac{8\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=16. \]
5. Сторона \(AB\) лежит против угла \(C=30^\circ\), поэтому \[ AB=2R\sin C=2\cdot 11\cdot \sin30^\circ=11. \]
6. Сначала найдём третий угол: \[ \angle C=180^\circ-21^\circ-24^\circ=135^\circ. \] Сторона \(AB\) лежит против угла \(C\), значит, \[ AB=2R\sin C =2\cdot 8\sqrt2\cdot \sin135^\circ=16. \]
Проверка принципа: против большего угла всегда лежит большая сторона. Например, в № 4 угол \(135^\circ\) — наибольший, поэтому наибольшей является именно сторона \(BC\).
