Реши задачу подробно , сначала каждую скобочку выпиши и найти икс что было равно нулю , потом нарисуй рисунок, потом ответ

Решаю № 9.8, пункты 1–4, методом интервалов. Неравенства строгие, поэтому все найденные точки на рисунках выколоты: нули знаменателя недопустимы, а нули числителя не включаются, так как нужен строгий знак.

1) \(\dfrac{x}{x+2}<0\)

Нули множителей:

• числитель: \(x=0\);
• знаменатель: \(x+2=0\Rightarrow x=-2\).

Оба корня простые, значит, при переходе через каждую точку знак меняется.

Рисунок — знаки дроби на интервалах: \[ -\infty\quad +\quad \underset{-2}{\circ}\quad -\quad \underset{0}{\circ}\quad +\quad +\infty \]

Нужен знак «минус»: \[ x\in(-2;0). \]

Ответ: \((-2;0)\).

---

2) \(\dfrac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0\)

Нули каждой скобки:

• \(3x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\);
• \(4-x=0\Rightarrow x=4\);
• \(x+3=0\Rightarrow x=-3\) — нуль знаменателя;
• \(x-1=0\Rightarrow x=1\) — нуль знаменателя.

Все точки простые, расположим их по порядку: \[ -3<\frac{2}{3}<1<4. \]

Проверка: при \(x=0\) \[ \frac{(0-2)(4-0)}{(0+3)(0-1)}=\frac{(-2)\cdot4}{3\cdot(-1)}=\frac{8}{3}>0. \]

Рисунок: \[ -\infty\quad -\quad \underset{-3}{\circ}\quad +\quad \underset{\frac{2}{3}}{\circ}\quad -\quad \underset{1}{\circ}\quad +\quad \underset{4}{\circ}\quad -\quad +\infty \]

Нужны интервалы со знаком «плюс»: \[ x\in\left(-3;\frac{2}{3}\right)\cup(1;4). \]

Ответ: \(\left(-3;\dfrac{2}{3}\right)\cup(1;4)\).

---

3) \(\dfrac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0\)

Нули каждой скобки и их кратности:

• \(x-2=0\Rightarrow x=2\), кратность \(1\);
• \(2x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\), кратность \(3\);
• \(3-x=0\Rightarrow x=3\) — нуль знаменателя, кратность \(4\);
• \(1-5x=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}\) — нуль знаменателя, кратность \(5\).

Правило: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, чётной — не меняется. Поэтому в точке \(x=3\) знак сохраняется, но сама точка всё равно выколота.

Проверим знак при \(x=0\): \[ \frac{(0-2)(1)^3}{(3)^4(1)^5}=-\frac{2}{81}<0. \]

Рисунок: \[ -\infty\quad +\quad \underset{-\frac12}{\circ}\quad -\quad \underset{\frac15}{\circ}\quad +\quad \underset{2}{\circ}\quad -\quad \underset{3}{\circ}\quad -\quad +\infty \]

Нужны интервалы со знаком «плюс»: \[ x\in\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{5};2\right). \]

Ответ: \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{5};2\right)\).

---

4) \(\dfrac{x^2-5x+7}{-2x^2+3x+2}>0\)

Числитель: \[ x^2-5x+7=0. \] Дискриминант: \[ D=25-4\cdot1\cdot7=25-28=-3<0. \] Корней нет, а коэффициент при \(x^2\) положителен, значит, \[ x^2-5x+7>0 \] при всех \(x\).

Знаменатель: \[ -2x^2+3x+2=0. \] Разложим: \[ -2x^2+3x+2=(2x+1)(2-x). \] Нули знаменателя: \[ 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}, \qquad 2-x=0\Rightarrow x=2. \] Обе точки выколоты.

Знаменатель — парабола ветвями вниз, поэтому он положителен между корнями: \[ -\frac{1}{2}<x<2. \]

Рисунок: \[ -\infty\quad -\quad \underset{-\frac12}{\circ}\quad +\quad \underset{2}{\circ}\quad -\quad +\infty \]

Так как числитель всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком знаменателя. Нужен знак «плюс»: \[ x\in\left(-\frac{1}{2};2\right). \]

Ответ: \(\left(-\dfrac{1}{2};2\right)\).

---

Итоговые ответы:

1. \((-2;0)\);
2. \(\left(-3;\dfrac{2}{3}\right)\cup(1;4)\);
3. \(\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{5};2\right)\);
4. \(\left(-\dfrac{1}{2};2\right)\).