№ 3. Дано: AC = BD Доказать: Δ ABO = Δ OCD
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
№ 3. Дано: AC = BD Доказать: Δ ABO = Δ OCD [Рисунок: точки A и D внизу, B и C вверху; проведены отрезки AB, AC, BD, CD и AD; AC и BD пересекаются в точке O; на участках AO и OD видны по одной короткой засечке.]
Краткий ответ: указанные треугольники равны по первому признаку — по двум сторонам и углу между ними. Строгое соответствие вершин: \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow C\), \(O\leftrightarrow O\), то есть \(\triangle ABO\cong\triangle DCO\); треугольник \(OCD\) — тот же самый \(DCO\).
Доказательство:
Точки \(A,O,C\) и \(B,O,D\) лежат на прямых, поэтому \[ \angle AOB=\angle COD \] как вертикальные углы.
По рисунку одинаковыми засечками отмечены отрезки \(AO\) и \(OD\): \[ AO=OD. \]
По условию \[ AC=BD. \] При этом \[ AC=AO+OC,\qquad BD=BO+OD. \] Подставим и учтём, что \(AO=OD\): \[ AO+OC=BO+OD \quad\Rightarrow\quad OC=BO. \]
В треугольниках \(ABO\) и \(OCD\): \[ AO=OD,\qquad BO=OC,\qquad \angle AOB=\angle COD. \] Значит, они равны по двум сторонам и углу между ними.
Проверка: у равных треугольников должны быть равны и третьи стороны: \(AB=CD\). Это тоже следует из доказанного.
