повторить теорию стр. 163-167. выполнить решение задач. 1. Известно треугольники ABC и MNP подобны, AC=24, MN=5, MP=6.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
повторить теорию стр. 163-167. выполнить решение задач. 1. Известно треугольники ABC и MNP подобны, AC=24, MN=5, MP=6. Найдите сторону AB. 2. Известно треугольники ABC и DEF подобны, причем AB:DE=BC:EF=AC:DF. Известно, что ∠F=25°, ∠A=45°. Найдите остальные углы треугольников. 3.Треугольники ABCи DEF подобны. Известно, что сторона AB=6, сторона DE=3, а площадь треугольника DEF равна 14. Найдите площадь треугольника ABC.
Краткий ответ
- \(AB = 20\)
- \(\angle C = \angle F = 25^\circ,\quad \angle D = \angle A = 45^\circ,\quad \angle B = \angle E = 110^\circ\)
- \(S_{ABC} = 56\)
Главный принцип
В подобных треугольниках порядок букв в записи подобия задаёт соответствие вершин: если \(ABC \sim MNP\), то \(A\leftrightarrow M,\ B\leftrightarrow N,\ C\leftrightarrow P\). Отсюда:
- соответственные углы равны;
- соответственные стороны пропорциональны: \(\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{AC}{MP}=k\);
- площади относятся как \(k^2\), периметры — как \(k\).
Задача 1
Из \(ABC \sim MNP\) следует \(AB \leftrightarrow MN\) и \(AC \leftrightarrow MP\). Значит,
\[ k=\frac{AC}{MP}=\frac{24}{6}=4,\qquad AB = k\cdot MN = 4\cdot 5 = 20. \]
Проверка: \(\frac{AB}{MN}=\frac{20}{5}=4=\frac{AC}{MP}\) — верно.
Задача 2
Равенства \(AB:DE=BC:EF=AC:DF\) прямо показывают соответствие \(A\leftrightarrow D,\ B\leftrightarrow E,\ C\leftrightarrow F\). Поэтому
\[ \angle D=\angle A=45^\circ,\qquad \angle C=\angle F=25^\circ, \] \[ \angle B=\angle E=180^\circ-45^\circ-25^\circ=110^\circ. \]
Проверка: \(45^\circ+110^\circ+25^\circ=180^\circ\). ✓
Задача 3
Коэффициент подобия по сторонам:
\[ k=\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2. \]
Площади отличаются в \(k^2=4\) раза (треугольник \(ABC\) крупнее, поэтому его площадь больше):
\[ S_{ABC}=4\cdot S_{DEF}=4\cdot 14=56. \]
Проверка: сторона выросла в 2 раза — площадь в 4 раза, \(14\cdot 4=56\). ✓
Как действовать в похожем задании: сначала по записи подобия (или по пропорции сторон) выпиши пары соответственных вершин и сторон → найди \(k\) → дальше нужную величину: сторону умножай/дели на \(k\), угол просто приравнивай, площадь — на \(k^2\).
Обсуждение
2 сообщенияРаспиши полностью с объяснением
Кратко: 1) \(AB=20\); 2) \(\angle B=\angle E=110^\circ,\ \angle C=25^\circ,\ \angle D=45^\circ\); 3) \(S_{ABC}=56\).
Ниже — полное решение с объяснением.
Что нужно помнить о подобных треугольниках
Если \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\), то:
Соответственные углы равны: \[ \angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1,\qquad \angle C=\angle C_1. \]
Соответственные стороны пропорциональны: \[ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k, \] где \(k\) — коэффициент подобия.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2. \]
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
Важно: порядок букв в записи подобия показывает, какие вершины соответствуют друг другу. Например, из \(\triangle ABC\sim\triangle MNP\) следует: \[ A\leftrightarrow M,\qquad B\leftrightarrow N,\qquad C\leftrightarrow P. \]
Задача 1
Условие. Треугольники \(ABC\) и \(MNP\) подобны, \(AC=24\), \(MN=5\), \(MP=6\). Найдите \(AB\).
По записи подобия: \[ \triangle ABC\sim\triangle MNP, \] значит, \[ AB\leftrightarrow MN,\qquad AC\leftrightarrow MP. \]
Составим пропорцию соответственных сторон: \[ \frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}. \]
Подставим известные значения: \[ \frac{AB}{5}=\frac{24}{6}. \]
Так как \(\frac{24}{6}=4\), получаем: \[ \frac{AB}{5}=4. \]
Отсюда: \[ AB=4\cdot 5=20. \]
Ответ: \(AB=20\).
Задача 2
Условие. Треугольники \(ABC\) и \(DEF\) подобны, причём \[ AB:DE=BC:EF=AC:DF. \] Известно, что \(\angle F=25^\circ\), \(\angle A=45^\circ\). Найдите остальные углы треугольников.
Из пропорции сторон видно соответствие вершин: \[ AB\leftrightarrow DE,\qquad BC\leftrightarrow EF,\qquad AC\leftrightarrow DF. \]
Значит: \[ A\leftrightarrow D,\qquad B\leftrightarrow E,\qquad C\leftrightarrow F. \]
Поэтому соответственные углы равны: \[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle E,\qquad \angle C=\angle F. \]
Дано: \[ \angle A=45^\circ,\qquad \angle F=25^\circ. \]
Тогда: \[ \angle D=\angle A=45^\circ, \] \[ \angle C=\angle F=25^\circ. \]
Найдём угол \(B\) в треугольнике \(ABC\): \[ \angle B=180^\circ-\angle A-\angle C= 180^\circ-45^\circ-25^\circ=110^\circ. \]
Следовательно: \[ \angle E=\angle B=110^\circ. \]
Итак, все углы:
в треугольнике \(ABC\): \[ \angle A=45^\circ,\qquad \angle B=110^\circ,\qquad \angle C=25^\circ; \]
в треугольнике \(DEF\): \[ \angle D=45^\circ,\qquad \angle E=110^\circ,\qquad \angle F=25^\circ. \]
Проверка: \[ 45^\circ+110^\circ+25^\circ=180^\circ. \]
Ответ:
\[
\angle B=\angle E=110^\circ,\qquad \angle C=25^\circ,\qquad \angle D=45^\circ.
\]
Задача 3
Условие. Треугольники \(ABC\) и \(DEF\) подобны. \(AB=6\), \(DE=3\), площадь треугольника \(DEF\) равна \(14\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Найдём коэффициент подобия. Стороне \(AB\) соответствует сторона \(DE\), поэтому: \[ k=\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2. \]
Значит, треугольник \(ABC\) больше треугольника \(DEF\) в \(2\) раза по каждой соответствующей длине.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=k^2=2^2=4. \]
То есть площадь \(ABC\) в \(4\) раза больше площади \(DEF\). По условию: \[ S_{DEF}=14. \]
Тогда: \[ S_{ABC}=4\cdot S_{DEF}=4\cdot 14=56. \]
Ответ: \(S_{ABC}=56\).
Итоговые ответы
\[ AB=20. \]
\[ \angle B=\angle E=110^\circ,\qquad \angle C=25^\circ,\qquad \angle D=45^\circ. \]
Полностью: \[ \angle A=\angle D=45^\circ,\qquad \angle B=\angle E=110^\circ,\qquad \angle C=\angle F=25^\circ. \]
- \[ S_{ABC}=56. \]
