реши только 2 вариант

Краткие ответы (вариант 2)

1. \(\vec c=(-7;5)\), \(|\vec c|=\sqrt{74}\). Начало вектора — точка \(N(8;-1)\), конец — \(M(1;4)\).
2. Да, точка \(C\) принадлежит окружности.
3. \(PSQT\) — квадрат, его площадь \(25\) кв. ед.
4. Медиана к боковой стороне равна \(15\) см.

Решения

1. Вектор \(\vec c\)

Дано: \[ \vec a=(-3;2),\qquad \vec b=(1;-1). \]

Сначала умножим вектор на число: \[ 2\vec a=2(-3;2)=(-6;4). \]

Вычитаем: \[ \vec c=2\vec a-\vec b=(-6;4)-(1;-1)=(-7;5). \]

Длина: \[ |\vec c|=\sqrt{(-7)^2+5^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}. \]

Если конец вектора — точка \(M(1;4)\), а вектор \(\vec c=(-7;5)\), то его начало \(N\): \[ N=M-\vec c=(1;4)-(-7;5)=(8;-1). \]

Значит, на координатной плоскости нужно отметить точки \(N(8;-1)\) и \(M(1;4)\) и провести стрелку из \(N\) в \(M\).

---

2. Принадлежность точки окружности

Окружность с центром \(D(7;0)\) и радиусом \(\sqrt{30}\).

Точка \(C(2;\sqrt5)\) лежит на окружности, если \[ DC=\sqrt{30}. \]

Считаем квадрат расстояния: \[ DC^2=(2-7)^2+(\sqrt5-0)^2=(-5)^2+5=25+5=30. \]

Значит, \[ DC=\sqrt{30}. \]

Расстояние равно радиусу, поэтому точка \(C\) принадлежит окружности.

---

3. Доказательство, что \(PSQT\) — квадрат

Вершины: \[ P(3;0),\quad S(-1;3),\quad Q(-4;-1),\quad T(0;-4). \]

Найдём векторы последовательных сторон: \[ \overrightarrow{PS}=(-4;3),\quad \overrightarrow{SQ}=(-3;-4), \] \[ \overrightarrow{QT}=(4;-3),\quad \overrightarrow{TP}=(3;4). \]

Длины всех сторон: \[ |\overrightarrow{PS}|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5, \] \[ |\overrightarrow{SQ}|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=5, \] \[ |\overrightarrow{QT}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5, \] \[ |\overrightarrow{TP}|=\sqrt{3^2+4^2}=5. \]

Все стороны равны, значит, четырёхугольник — ромб.

Проверим прямой угол между соседними сторонами: \[ \overrightarrow{PS}\cdot\overrightarrow{SQ} =(-4)(-3)+3(-4)=12-12=0. \]

Скалярное произведение равно нулю, значит, стороны перпендикулярны.

Ромб с прямым углом — квадрат.

Площадь квадрата со стороной \(5\): \[ S=5^2=25. \]

---

4. Медиана к боковой стороне

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой.

Основание равно \(16\) см, значит, его половина: \[ 16:2=8\text{ см}. \]

Высота равна \(18\) см.

Расположим треугольник удобно: основание на оси \(x\): \[ B(-8;0),\quad C(8;0),\quad A(0;18). \]

Проведём медиану из точки \(B\) к боковой стороне \(AC\). Середина \(AC\): \[ K\left(\frac{0+8}{2};\frac{18+0}{2}\right)=(4;9). \]

Тогда длина медианы \(BK\): \[ BK=\sqrt{(4-(-8))^2+(9-0)^2} \] \[ BK=\sqrt{12^2+9^2} =\sqrt{144+81} =\sqrt{225}=15. \]

Ответ: \(\boxed{15\text{ см}}\).