Вариант 2

Раз все пять заданий с листа — решаю каждое.

1. ΔABD = ΔCBD

• \(AB = BC\) — по условию;
• \(\angle ABD = \angle CBD\) — по условию;
• \(BD\) — общая сторона.

Угол \(\angle ABD\) заключён между сторонами \(AB\) и \(BD\), угол \(\angle CBD\) — между \(BC\) и \(BD\), и они равны. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак).

2. Стороны равнобедренного треугольника

Пусть основание \(x\) см, тогда боковая сторона \(x-6\) см. Периметр: \[ x + 2(x-6) = 30 \;\Rightarrow\; 3x = 42 \;\Rightarrow\; x = 14. \] Боковая сторона: \(14-6 = 8\) см.

Проверка: \(8+8=16>14\) — неравенство треугольника выполняется.

Ответ: 8 см, 8 см, 14 см.

3. \(AM = CK\)

Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому \[ AB = BC,\qquad \angle BAC = \angle BCA. \] Сравним \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBK\):

• \(AB = BC\);
• \(\angle BAM = \angle BCK\) (углы при основании);
• \(\angle ABM = \angle CBK\) (по условию).

Сторона \(AB\) лежит между углами \(\angle BAM\) и \(\angle ABM\), сторона \(BC\) — между \(\angle BCK\) и \(\angle CBK\). Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак), откуда \(AM = CK\). Ч. т. д.

4. \(BO = DO\)

Шаг 1. В \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\): \(AB = AD\), \(BC = DC\), \(AC\) — общая. Треугольники равны по трём сторонам, значит \[ \angle BAC = \angle DAC, \] то есть \(AC\) (а значит, и \(AO\)) — биссектриса угла \(BAD\).

Шаг 2. В \(\triangle ABO\) и \(\triangle ADO\): \(AB = AD\), \(\angle BAO = \angle DAO\), \(AO\) — общая. Равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \(BO = DO\). Ч. т. д.

5. \(AC\), если \(AB = 7\) см

Пусть \(P\) — точка пересечения \(BM\) и \(AD\). Рассмотрим \(\triangle ABM\):

• \(AP\) лежит на биссектрисе \(AD\), значит \(\angle BAP = \angle MAP\);
• \(AP \perp BM\) по условию, то есть \(AP\) — высота.

Биссектриса, совпавшая с высотой, бывает только в равнобедренном треугольнике, проведённой к основанию. Значит, \(\triangle ABM\) равнобедренный и \[ AM = AB = 7 \text{ см}. \] Медиана \(BM\) делит \(AC\) пополам, поэтому \[ AC = 2AM = 14 \text{ см}. \]

Ответ: 14 см.