№ 153 (2) 2. (a+2b)/(a+b) − 3a²/(a²−b²) · b/(6a) = 3. (x − x²/(x+2)) : (x−3)/(x+2) =
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
№ 153 (2) 2. \(\frac{a+2b}{a+b} - \frac{3a^2}{a^2-b^2}\cdot\frac{b}{6a} =\) 3. \(\left(x-\frac{x^2}{x+2}\right):\frac{x-3}{x+2} =\)
На фото две части задания. Вот краткий ответ, а ниже — как он получается.
Кратко: \[ 2.\ \frac{2a^2+ab-4b^2}{2(a^2-b^2)},\qquad 3.\ \frac{2x}{x-3}. \]
№ 2. Как получили
\[ \frac{a+2b}{a+b}-\frac{3a^2}{a^2-b^2}\cdot\frac{b}{6a} \]
- Раскладываем разность квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
- Сначала выполняем умножение: \[ \frac{3a^2}{(a-b)(a+b)}\cdot\frac{b}{6a} =\frac{3a^2b}{6a(a-b)(a+b)} =\frac{ab}{2(a-b)(a+b)}. \]
- Приводим первую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{a+2b}{a+b} =\frac{2(a+2b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)}. \]
- Вычитаем и раскрываем скобки: \[ \frac{2(a+2b)(a-b)-ab}{2(a-b)(a+b)} =\frac{2a^2+ab-4b^2}{2(a^2-b^2)}. \]
№ 3. Как получили
\[ \left(x-\frac{x^2}{x+2}\right):\frac{x-3}{x+2} \]
- В скобках приводим к общему знаменателю: \[ x-\frac{x^2}{x+2} =\frac{x(x+2)-x^2}{x+2} =\frac{2x}{x+2}. \]
- Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{2x}{x+2}:\frac{x-3}{x+2} =\frac{2x}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-3} =\frac{2x}{x-3}. \]
Проверка. В № 2 при \(a=2,\ b=1\) исходное выражение и ответ дают \(1\). В № 3 при \(x=1\) обе части дают \(-1\).
Ограничения: в № 2 \(a\neq 0,\ a\neq \pm b\); в № 3 \(x\neq -2,\ x\neq 3\).
Принцип: сначала выполняем умножение и деление (деление — это умножение на обратную дробь), потом сложение и вычитание; сокращать можно только после разложения на множители.
Обсуждение
4 сообщенияДай ещё пример на порядок действий с дробями
Дай ещё пример на порядок действий с дробями
Вот пример того же типа — сначала действия в скобках/умножение, только потом сложение и вычитание. Постарайся решить сам, а потом сверь по шагам.
Пример 1 (как № 2)
\[ \frac{3a-b}{a-b}-\frac{2a^2}{a^2-b^2}\cdot\frac{b}{2a} \]
Шаг 1. Умножение — оно главнее вычитания. Знаменатель раскладываем: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). \[ \frac{2a^2}{(a-b)(a+b)}\cdot\frac{b}{2a} =\frac{2a^2b}{2a(a-b)(a+b)} =\frac{ab}{(a-b)(a+b)} \]
Шаг 2. Приводим первую дробь к тому же знаменателю. \[ \frac{3a-b}{a-b}=\frac{(3a-b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{3a^2+2ab-b^2}{(a-b)(a+b)} \]
Шаг 3. Вычитаем числители. \[ \frac{3a^2+2ab-b^2-ab}{(a-b)(a+b)} =\frac{3a^2+ab-b^2}{(a-b)(a+b)} \]
Проверка: при \(a=2,\ b=1\) левая часть даёт \(5-\frac{2}{3}=\frac{13}{3}\), правая — \(\frac{13}{3}\). Совпало.
Пример 2 (как № 3)
\[ \left(\frac{3x}{x+1}-x\right):\frac{x-1}{x+1} \]
Шаг 1. Скобки — общий знаменатель. \[ \frac{3x-x(x+1)}{x+1}=\frac{3x-x^2-x}{x+1}=\frac{2x-x^2}{x+1} \]
Шаг 2. Деление = умножение на обратную дробь. \[ \frac{2x-x^2}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x-1}=\frac{x(2-x)}{x-1} \]
Проверка: при \(x=3\): \(\left(\frac94-3\right):\frac12=-\frac32\) и \(\frac{3\cdot(-1)}{2}=-\frac32\). Верно.
Попробуй сам
\[ \frac{x+2}{x-2}-\frac{x^2}{x^2-4}\cdot\frac{2}{x} \] Ответ для сверки: \(\dfrac{x^2+2x+4}{(x-2)(x+2)}\), при \(x\neq 0,\ x\neq \pm 2\).
Коротко порядок действий: сначала скобки → умножение и деление (слева направо) → сложение и вычитание. Перед сокращением всегда раскладывай на множители: сокращать можно только множители, а не слагаемые — поэтому \(\frac{3a^2+ab-b^2}{(a-b)(a+b)}\) уже не упрощается.
На фото — те же № 2 и № 3, так что продолжаем тему. Вот похожий пример на порядок действий с алгебраическими дробями.
Пример. Упростить: \[ \left(\frac{x}{x-2}-\frac{x^2}{x^2-4}\right):\frac{x}{x+2} \]
Решение.
Раскладываем знаменатель на множители: \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Сначала выполняем действие в скобках. Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{x}{x-2}-\frac{x^2}{(x-2)(x+2)} =\frac{x(x+2)-x^2}{(x-2)(x+2)}. \] Раскрываем скобки в числителе: \[ x(x+2)-x^2=x^2+2x-x^2=2x. \] Значит, \[ \left(\frac{x}{x-2}-\frac{x^2}{x^2-4}\right) =\frac{2x}{(x-2)(x+2)}. \]
Теперь деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{2x}{(x-2)(x+2)}:\frac{x}{x+2} = \frac{2x}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x+2}{x}. \] Сокращаем \(x\) и \(x+2\): \[ \frac{2x}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x+2}{x} =\frac{2}{x-2}. \]
Ответ: \[ \frac{2}{x-2}. \]
Проверка. При \(x=3\): \[ \left(\frac{3}{1}-\frac{9}{5}\right):\frac{3}{5} =\frac{6}{5}:\frac{3}{5}=2, \] а \(\frac{2}{3-2}=2\). Всё сходится.
Ограничения: \(x\neq 0,\ x\neq 2,\ x\neq -2\).
Порядок действий здесь такой: сначала скобки и общий знаменатель, затем деление — через умножение на обратную дробь, и только потом сокращение.
Для тренировки можно взять похожее: \[ \left(\frac{y}{y+3}-\frac{y^2}{y^2-9}\right):\frac{y}{y-3}. \] Ответ: \(-\frac{3}{y+3}\), при \(y\neq 0,\ y\neq \pm 3\).
