74 Упростить выражение: 1) a^√2 · a^(1−√2); 2) a^(√3−1) · a^(√3+1); 3) (b^√3)^√3 : b^2.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
74 Упростить выражение:
- \(a^{\sqrt{2}} \cdot a^{1-\sqrt{2}}\); 2) \(a^{\sqrt{3}-1} \cdot a^{\sqrt{3}+1}\); 3) \((b^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}} : b^{2}\). 75 Сравнить числа: 1) \(\sqrt[3]{2}\) и \(\sqrt[3]{3}\); 2) \(\sqrt[4]{5}\) и \(\sqrt[4]{7}\). 76 Вычислить:
- \(\left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75} + 810000^{0,25} - \left(7\frac{19}{32}\right)^{\frac{1}{5}}\); 2) \(27^{\frac{2}{3}} - (-2)^{-2} + \left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}\);
- \((0,001)^{-\frac{1}{3}} - 2^{-2} \cdot 64^{\frac{2}{3}} - 8^{-1\frac{1}{3}}\); 4) \((-0,5)^{-4} - 625^{0,25} - \left(2\frac{1}{4}\right)^{-1\frac{1}{2}}\). Упростить выражение (77—78). 77 1) \((a^{4})^{-\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{3}}\right)^{-6}\); 2) \(\left(\left(\frac{a^{6}}{b^{-3}}\right)^{4}\right)^{\frac{1}{12}}\). 78 1) \(\frac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}\right)}\); 2) \(\frac{b^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{b^{4}}-\sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}}\right)}\).
На фото несколько заданий, поэтому ниже — решения всех видимых номеров 74–78. Для дробных степеней считаем \(a>0,\ b>0\).
Краткие ответы
- 74. 1) \(a\); 2) \(a^{2\sqrt3}\); 3) \(b\).
- 75. 1) \(\sqrt[3]{2}<\sqrt[3]{3}\); 2) \(\sqrt[4]{5}<\sqrt[4]{7}\).
- 76. 1) \(\frac{73}{2}=36{,}5\); 2) \(\frac{113}{12}=9\frac{5}{12}\); 3) \(\frac{95}{16}=5\frac{15}{16}\); 4) \(\frac{289}{27}=10\frac{19}{27}\).
- 77. 1) \(\frac{b^4}{a^3}\); 2) \(a^2b\).
- 78. 1) \(a\); 2) \(1\) при \(b>0,\ b\ne1\).
Почему так
Главное правило: \[ a^m a^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}. \]
74. Складываем показатели: \[ a^{\sqrt2}\cdot a^{1-\sqrt2}=a^{\sqrt2+1-\sqrt2}=a, \] \[ a^{\sqrt3-1}\cdot a^{\sqrt3+1}=a^{(\sqrt3-1)+(\sqrt3+1)}=a^{2\sqrt3}, \] \[ (b^{\sqrt3})^{\sqrt3}:b^2=b^3:b^2=b. \]
75. Корень \(n\)-й степени возрастает на положительных числах, поэтому сравниваем подкоренные числа: \(2<3\) и \(5<7\).
76.
\[ \left(\frac1{16}\right)^{-0{,}75}=16^{3/4}=8,\qquad 810000^{0{,}25}=30, \] \[ \left(7\frac{19}{32}\right)^{1/5} =\left(\frac{243}{32}\right)^{1/5}=\frac32. \] \[ 8+30-\frac32=\frac{73}{2}. \]
\[ 27^{2/3}=9,\qquad (-2)^{-2}=\frac14,\qquad \left(3\frac38\right)^{-1/3} =\left(\frac{27}{8}\right)^{-1/3}=\frac23. \] \[ 9-\frac14+\frac23=\frac{113}{12}. \]
\[ (0{,}001)^{-1/3}=10,\qquad 2^{-2}\cdot64^{2/3}=\frac14\cdot16=4, \] \[ 8^{-1\frac13}=8^{-4/3}=\frac1{16}. \] \[ 10-4-\frac1{16}=\frac{95}{16}. \]
\[ (-0{,}5)^{-4}=16,\qquad 625^{0{,}25}=5, \] \[ \left(2\frac14\right)^{-1\frac12} =\left(\frac94\right)^{-3/2}=\frac8{27}. \] \[ 16-5-\frac8{27}=\frac{289}{27}. \]
77.
\[ (a^4)^{-3/4}=a^{-3},\qquad (b^{-2/3})^{-6}=b^4, \] поэтому \[ (a^4)^{-3/4}\cdot(b^{-2/3})^{-6}=a^{-3}b^4=\frac{b^4}{a^3}. \]
\[ \frac{a^6}{b^{-3}}=a^6b^3, \] \[ \left((a^6b^3)^4\right)^{1/12} =\left(a^{24}b^{12}\right)^{1/12}=a^2b. \]
78.
\[ a^{4/3}(a^{-1/3}+a^{2/3}) =a+a^2=a(1+a), \] \[ a^{1/4}(a^{3/4}+a^{-1/4}) =a+1. \] Тогда \[ \frac{a(1+a)}{a+1}=a. \]
\[ b^{1/5}\left(\sqrt[5]{b^4}-\sqrt[5]{b^{-1}}\right) =b^{1/5}(b^{4/5}-b^{-1/5})=b-1, \] \[ b^{2/3}\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}}\right) =b^{2/3}(b^{1/3}-b^{-2/3})=b-1. \] Поэтому вся дробь равна \(1\). При \(b=1\) исходное выражение не определено.
Проверка: \(30^4=810000\), \(\left(\frac32\right)^5=\frac{243}{32}\), \(\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8}\) — вычисления в 76 сходятся. В 78(2) при \(b=2\) числитель и знаменатель тоже равны 1.
