задача 215 а, б, в, г, д и е

Разберём задание 215. Используем главное свойство: \[ \arctg x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),\qquad \tg(\arctg x)=x. \] Но выражение \(\arctg(\tg y)\) не всегда равно \(y\): угол \(y\) нужно привести в промежуток \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\).

а) \(\tg(\arctg 2)\)

По определению \(\arctg 2\) — это такой угол, тангенс которого равен \(2\). Поэтому сразу: \[ \tg(\arctg 2)=2. \]

б) \(\tg\left(\arctg\left(-\frac13\right)\right)\)

Аналогично: \[ \tg\left(\arctg\left(-\frac13\right)\right)=-\frac13. \]

в) \(\arctg\left(\tg\frac{5\pi}{6}\right)\)

Сначала найдём тангенс: \[ \tg\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3}. \] Теперь: \[ \arctg\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{\pi}{6}. \] Можно объяснить проще: \[ \tg\frac{5\pi}{6}=\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right), \] а угол \(-\frac{\pi}{6}\) уже лежит в нужном промежутке. Значит, \[ \boxed{-\frac{\pi}{6}}. \]

г) \(\arctg\left(\tg\frac{\pi}{10}\right)\)

Угол \[ \frac{\pi}{10}\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), \] поэтому \(\arctg\) и \(\tg\) здесь взаимно уничтожаются: \[ \arctg\left(\tg\frac{\pi}{10}\right)=\frac{\pi}{10}. \]

д) \(\arctg(\tg 3)\)

Число \(3\) радиана больше \(\frac{\pi}{2}\), поэтому сразу написать \(3\) нельзя. Так как период тангенса равен \(\pi\): \[ \tg 3=\tg(3-\pi). \] При этом \[ 3-\pi\approx -0{,}14\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right). \] Следовательно, \[ \arctg(\tg 3)=3-\pi. \]

е) \(\tg\left(3\arctg\frac43\right)\)

Обозначим \[ \alpha=\arctg\frac43. \] Тогда \[ \tg\alpha=\frac43. \] Нужно найти \(\tg 3\alpha\). Используем формулу: \[ \tg 3\alpha=\frac{3\tg\alpha-\tg^3\alpha}{1-3\tg^2\alpha}. \] Подставляем \(\tg\alpha=\frac43\): \[ \tg 3\alpha= \frac{3\cdot\frac43-\left(\frac43\right)^3} {1-3\left(\frac43\right)^2}. \] Считаем числитель: \[ 3\cdot\frac43=4,\qquad \left(\frac43\right)^3=\frac{64}{27}, \] \[ 4-\frac{64}{27}=\frac{108-64}{27}=\frac{44}{27}. \] Считаем знаменатель: \[ 1-3\cdot\frac{16}{9}=1-\frac{16}{3}=-\frac{13}{3}. \] Тогда \[ \tg 3\alpha= \frac{\frac{44}{27}}{-\frac{13}{3}} = \frac{44}{27}\cdot\left(-\frac{3}{13}\right) = -\frac{44}{117}. \]

Ответы: \[ \text{а) }2;\quad \text{б) }-\frac13;\quad \text{в) }-\frac{\pi}{6};\quad \text{г) }\frac{\pi}{10};\quad \text{д) }3-\pi;\quad \text{е) }-\frac{44}{117}. \]